§ 112. Закрытая изотропная модель

Переходя к исследованию пространственно-временной метри­ки изотропной модели, мы должны прежде всего условиться о выборе системы отсчета. Наиболее удобна «сопутствующая» си­стема отсчета, движущаяся в каждой точке пространства вместе с находящимся в ней веществом. Другими словами, системой отсчета является сама заполняющая пространство материя; ско­рость вещества в этой системе по определению равна везде нулю. Очевидно, что такой выбор системы отсчета для изотроп­ной модели естествен: при другом выборе направленность ско­ростей материи создавала бы кажущуюся неэквивалентность различных направлений в пространстве. Временная координата должна быть выбрана указанным в начале предыдущего пара­графа образом, т. е. так, чтобы в каждый данный момент вре­мени метрика во всем пространстве была одинаковой.

Ввиду- иолиой-эквивалентности всех наиравлений, компонен­ты goa метрического тензора в выбранной нами системе отсчета равны нулю. Действительно, три компоненты g_0a можно рассмат­ривать как компоненты трехмерного вектора, который, будучи отличен от нуля, создавал бы неравноценность различных на­правлений. Таким образом, ds² должно иметь вид ds² = — goo'dx⁰)*— dP. Компонента goo является здесь функцией толь­ко от х°. Поэтому можно всегда выбрать временную координату так, чтобы goo обратилось в 1. Обозначая ее через ct, имеем:

ds² = c²dt²~dl². (П2Д)

Переменная / является синхронным собственным временем в. каждой точке пространства.

Начнем с рассмотрения пространства положительной кривиз­ны; ниже мы будем для краткости говорить о соответствующем решении уравнений Эйнштейна как о закрытой модели. Для dl воспользуемся' выражением (111,8), в котором радиус кривизны а является, вообще говоря, функцией времени. Таким образом, ds² пишем в виде

ds² = c²di² - a² (t) {d%² + sin² x(dQ² + sin²8 dtp²)}. (112_v2)

Функция a(t) определяется уравнениями Эйнштейна. Для решения этих уравнений удобно воспользоваться вместо времени величиной т), определяемой соотношением

cdt = adr^ (112,3)

Тогда ds² напишется в виде

ds² = a²(v_i){dr\²-dx²-- sin²x(*$²-f sin²®^)^ (112,4)

Для составления уравнений поля надо начать с вычисления компонент тензора Rt_k (координатами х°, х¹, х^г, х³ являются г\, X, 8, ф). с помощью значений компонент метрического тензора

foo==o², gii = — a². #22 = —я² sin² х, £зз = — a² sm²x sin² 8

вычисляем величины Гы'

по о.' лО а' „ yio a' ,a tiO r,a _п

¹00 = —> 1 ар = — gaft> ¹0В= —Ой, i aO = I 00 = О,

где штрих означает дифференцирование по т} (компоненты Tf_t нет надобности вычислять в явном виде). С помощью этих зна­чений но общей формуле (92,7) получим:

= Jr (a'²-aa").

Из тех же соображений симметрии, которые были применены выше к goo. заранее очевидно, что компоненты /?ва = 0. Для вы­числения же компонент замечаем, что если выделить в них .члены, содержащие только g_a^ (т. е. только r|_v), то эти члены

„в

должны составить компоненты трехмерного тензора — Р_а, зна­чения которых заранее известны из (111,3) и (111,6):

Ra = — Ра Ч~ • • • ⁼⁼ ^°а"Ь "ч

где многоточие подразумевает члены, содержащие наряду с ga,& также и goo. В результате вычисления последних получим:

Я8=—(2а² + а² + аа")о1

и затем

R = Rl + R^a_a = -%r(a + a").

Поскольку в выбранной нами системе отсчета материя не­подвижна, то и^а = 0, и°=1/а и из (94,9) имеем 7^ = е, где е — плотность энергии материи. Подставляя полученные выражения в уравнение