2. Найти среднюю (по периоду обращения) энергию, излучаемую в виде гравитационных волн системой двух тел, движущихся по эллиптическим ор­битам (р. С. Peters, I. Mathews1)).

Решение. В отличие от случая кругового движения, расстояние г и угловая скорость меняются вдоль орбиты по законам

^а(1~*^г) -1+«со»Ц>, *±^^._{к(т, + т₂)а{\-е*)\и\

где е — эксцентриситет, a а — большая полуось орбиты (см. I § 15). До­вольно длинное вычисление по (110,16) дает:

dx Ък^м\т\ (т, + тЛ "~ " 15«⁵_C⁵(l-e²)⁵ О +^ecos Ф)⁴[Щ1 +е cos ф)² + _е² sin² ф].

При усреднении по периоду обращения интегрирование по dt заменяется интегрированием по сгф и приводит к результату:

dS 32ft⁴m?m2 (т, + тЛ 1 / 73 37 *\ IL j ₊ — _ег ₊ —

dt 5c⁵a⁵ (1 — e²)^/j V. 24 96

') Угловое, поляризационное и спектральное распределения этого излу­чения—см. Phys. Rev. 131, 435 (1963).

Обратим внимание на быстрое возрастание интенсивности излучения с уве­личением эксцентриситета орбиты.

3. Определить среднюю (по времени) скорость потери момента импульса системой стационарно движущихся тел, испускающей гравитационные волны.

Решение. Для удобства записи формул будем временно рассматривать тела как состоящие из дискретных частиц. Представим среднюю скорость потери энергии системой как работу действующих на частицы «сил тре­ния» f:

dt

^{-J> (1)}

(индекс, нумерующий частицы, не выписываем). Тогда средняя скорость по­тери момента вычисляется как

(ср. вывод формулы (75,7)). Для определения f пишем:

К п *_ г, *r)(V)

dt ~ 45с^{5 U}a&^U*& ~ 45с⁵ "<*р"«Р

(использовано равенство нулю средних значений от полных производных по времени). Подставив сюда Ь_ао = т (3*_ао_р + 3x^v_a — 2rv6_ap) и сравнив с (1), найдем:

Подстановка этого выражения в (2) приводит к результату:

dM_a 2k _(vir, 2k -~ J- .„.

4. Для системы двух тел, движущихся по эллиптическим орбитам, найти средний теряемый ею в единицу времени момент импульса.

Решение. Вычисление по формуле (3) из предыдущей задачи, ана­логичное произведенному в задаче 2, приводит к результату:

dM_z 32й'^/!/и²«2 V^ml + ^т2 ¹ ( ⁷ Л ~~ dt ⁼ 5с⁵а'' (1-е²)² \ ⁺ J* )'

При круговом движении (е = 0) значения & и М находятся, как и следо­вало, в соотношении 8 — Ми>,

Глава XIV

релятивистская космология

§ 111. Изотропное пространство

Общая теория относительности открывает новые пути под­хода к решению вопросов, связанных со свойствами мира, рас­сматриваемого в космических масштабах. Возникающие здесь новые замечательные возможности (впервые указанные Эйн­штейном в. 1917 г.) связаны с негалилеевостью пространства-времени.

Прежде чем приступить к систематическому построению ре­лятивистских космологических моделей, сделаем следующее за­мечание по поводу основных исходных уравнений поля.

Требования, поставленные в § 93 в качестве условий для определения действия гравитационного поля, будут по-преж­нему удовлетворены, если к скаляру G добавить постоянный член, т. е. если положить

где А — новая постоянная (с размерностью см^-2). Такое изме­нение приведет к появлению в уравнениях Эйнштейна дополни­тельного члена Agik'-

Rik — ~2 Reik — T_ik + Ag_ik.

Если приписать «космологической постоянной» А очень малое значение, то наличие этого члена не будет сказываться сущест­венным образом на гравитационных полях в не слишком боль­ших областях пространства-времени, но приведет к появлению новых типов «космологических решений», которые могли бы описывать мир в целом¹). В настоящее время, однако, нет ни­каких настоятельных и убедительных оснований — как наблю­дательных, так и теоретических — для такого видоизменения основных уравнений теории. Подчеркнем, что речь шла бы об изменении, имеющем глубокий физический смысл: введение в

') В частности, появляются стационарные решения, отсутствующие при Л = 0. Именно с этой целью «космологический член» был введен Эйнштей­ном до открытия Фридманом нестационарных решений уравнений поля — см, ниже.

плотность лагранжевов\ функции постоянного члена, вообще не зависящего от состояния поля, означало бы приписывание про­странству-времени принципиально неустранимой кривизны, не связанной ни с материей, ни с гравитационными волнами. Все дальнейшее изложение в этой главе основано поэтому.иа урав­нениях Эйнштейна в их «классическом» виде, без космологиче­ской постоянной.

Как известно, звезды распределены по пространству весьма неравномерным образом — они сконцентрированы в отдельных звездных системах (галактиках). Но при исследовании Вселен­ной «в больших масштабах» следует отвлекаться от «местных» иеоднородностей, вызванных скоплением вещества в звезды и звездные системы. Так, под плотностью масс должна подразу­меваться плотность, усредненная по областям пространства, раз­меры которых велики по сравнению с расстояниями между га­лактиками.

Рассматриваемые ниже (в §§ 111—114) решения уравнений Эйнштейна — так называемая изотропная космологическая мо­дель (впервые открытая А. А. Фридманом в 1922 г.) — основаны на предположении об однородности и изотропии распределения вещества по пространству. Существующие астрономические дан­ные не противоречат такому предположению¹), и в настоящее время есть все основания считать, что изотропная модель дает в общих чертах адекватное описание не только современного состояния Вселенной, но и изначительной доли ее эволюции в прошлом. Мы увидим ниже, что основным свойством этой мо­дели является ее нестационарность. Нет сомнения в том, что это свойство («расширяющаяся Вселенная») дает правильное объ­яснение фундаментального для космологической проблемы яв­ления красного смещения (§ 114).

В то же время ясно, что предположение об однородности и изотропии Вселенной уже.по самому своему существу неизбежно может иметь лишь приближенный характер, поскольку эти свой­ства заведомо нарушаются при переходе к меньшим масштабам. К вопросу о возможной роли неоднородности Вселенной в раз­личных аспектах космологической проблемы мы вернемся в §§ 115-119.

Однородность и изотропия пространства означают, что можно выбрать такое мировое время, чтобы в каждый его момент метрика пространства была одинаковой во всех точках и по всем направлениям.

Займемся прежде всего изучением метрики изотропного про­странства как таковой, не интересуясь пока его возможной за­висимостью от времени. Как мы уже делали выше, обозначим

§1111

ИЗОТРОПНОЕ ПРОСТРАНСТВО

459

трехмерный метрический тензор как у_а$, т. е. напишем элемент пространственного расстояния в виде

йР^Уа^хЧх». (111,1)

Кривизна пространства полностью определяется его трехмер­ным тензором кривизны, который мы обозначаем как foftyj, в от­личие от четырехмерного тензора /?шт. В случае полной изотро­пии тензор Paeve Должен, очевидно, выражаться только через метрический тензор у_ар, а потому в силу своих свойств сим­метрии должен иметь вид

^{^aeva^MVavYfte — YaftYev)' (Н1.2)}

где Я,— постоянная. Тензор Риччи P_ap — P^Ya_VB Р^авен соответ­ственно

Р₀в = ²^а_Р, (1И.З)

а скалярная кривизна

Р = 6л, (111,4)

Таким образом, свойства кривизны изотропного пространства определяются лишь одной постоянной. Соответственно этому возможны всего три существенных различных случая простран­ственной метрики: 1) так называемое пространство постоянной положительной кривизны (соответствующее положительным значениям X), 2) пространство постоянной отрицательной кри­визны (соответствующее значениям К < 0) и 3) пространство с кривизной, равной нулю (Я = 0). Из них последнее представ­ляет собой плоское, т. е. евклидово, пространство.

При изучении метрики удобно исходить из геометрической аналогии, рассматривая геометрию изотропного трехмерного пространства как геометрию на заведомо изотропной гиперпо­верхности (в некотором фиктивном четырехмерном простран­стве¹)). Такой поверхностью является гиперсфера; соответ­ствующее ей трехмерное пространство и является пространством положительной постоянной кривизны. Уравнение гиперсферы с радиусом а в четырехмерном пространстве хи хг, х⁶, ⁷л имеет вид

2 2 2 2 2

х\ + х₂ + х₃ + Xi = а ,

а элемент длины на ней выражается как

dl² = dx\ -f dx\ -f dx\ -j- dx\.

Рассматривая координаты x\, x₂, x% как три пространствен­ные координаты и исключая из dl² фиктивную координату х₄ с помощью первого уравнения, находим элемент пространствен­ного расстояния в виде

_{dt = dx\ + dx\ + dxl+}^(Xidx_;^+x_f^x_*t^X3d₂^X3)i_{- (111.5)}

« - «i - 4 - 4

Из этого выражения легко вычислить постоянную К в (111,2). Поскольку нам заранее известно, что тензор Р₀р имеет вид (111,3) во всем пространстве, то достаточно вычислить его только для точек, находящихся вблизи начала координат, где Уац равны

, . ^Ха-Ч

Yap °ая "1 •

Так как первые производные от у_ар, а значит, и величины ^3y—(ср. задачу 1 § 88) —трехмерные символы Кристоффеля, соответствующие метрике у<хв, — в начале координат обращаются в нуль, то вычисление по общей формуле (92,7) оказывается очень простым и дает в результате

\=~. (111,6)

Величину а можно назвать «радиусом кривизны» простран­ства. Введем вместо координат х_и х₂, х% соответствующие им «сферические» координаты г, 8, ср. Тогда элемент длины при­мет вид

dP= ^dr\ + r²(sin²6rfq>²+rf8²). (111,7)

^х~—г

Начало координат может быть выбрано в любой точке простран­ства. Длина окружности в этих координатах равна 2лг, а по­верхность сферы 4яг². Длина же «радиуса» окружности (или сферы) равна

г

С dr

т. е. больше г. Таким образом, отношение длины окружности к радиусу в таком пространстве меньше чем 2л.

Другую удобную форму dl² имеет в «четырехмерных сфериче­ских координатах», получающихся, если ввести вместо коорди­наты г «угол» х согласно r = asin% (^ меняется в пределах от 0 до л)'). Тогда

dl² = a² [dx² + sin² х (sin² edap² -f dQ²)]. (111,8)

s 1П]

ИЗОТРОПНОЕ ПРОСТРАНСТВО

461

Координата / измеряет расстояние от начала координат, равное ах- Поверхность сферы в этих координатах равна 4яа² sin²,/. Мы видим, что по мере удаления от начала координат величина поверхности сферы увеличивается, пока не достигнет на расстоя­нии па/2 максимального значения, равного 4яа². Вслед за этим она начинает уменьшаться, пока не превратится в точку на «про­тивоположном полюсе» пространства на расстоянии па — наи­большем расстоянии, которое вообще может существовать в та­ком пространстве (все это видно, конечно, и из (111,7), если заметить, что координата г не может принимать значений, боль­ших чем а).

Объем пространства с положительной кривизной равен

2л л я

a³ sin² х sin 8 dx dQ dq>,

ООО

откуда

V = 2пЬ³.

(111,9)

Таким образом, пространство положительной кривизны оказы­вается «замкнутым само в себе» — конечным по объему, но, разумеется, не имеющим границ.

Интересно отметить, что в замкнутом пространстве полный электрический заряд должен быть равен нулю. Действительно, всякая замкнутая поверхность в конечном пространстве с обеих своих сторон охватывает конечные же области пространства. Поэтому поток электрического поля через эти поверхность ра­вен, с одной стороны, полному заряду, находящемуся внутри поверхности, а с другой, — равен находящемуся вне ее заряду, взятому с обратным знаком. Сумма же зарядов с обеих сторон поверхности равна, следовательно, нулю.

Аналогичным образом, из выражения (96,16) 4-импульса в виде интеграла по поверхности следует обращение в нуль пол­ного 4-импульса Р' во всем пространстве.

Перейдем теперь к рассмотрению геометрии пространства, обладающего постоянной отрицательной кривизной. Из (111,6) мы видим, что постоянная Я становится отрицательной, если а мнимо. Поэтому все формулы для пространства отрицательной кривизны можно непосредственно получить из предыдущих, за­менив в них а на ia. Другими словами; геометрия пространства отрицательной кривизны получается математически как геоме­трия на четырехмерной псевдосфере с мнимым радиусом.

Таким образом, постоянная к равна теперь

(111,10)

а элемент длины в пространстве отрицательной кривизны в ко­ординатах г, 6, <р имеет вид

dl² = ^dr\ + г² (sin² Qdtf + dQ²), (Ш.П)

где координата г может пробегать все значения от 0 до оо. Отно­шение длины окружности к радиусу теперь больше чем 2я. Вы­ражение для dl% соответствующее (111,8),: получится, если ввести координату % согласно r = ashx (х меняется здесь от О до оо). Тогда

d/²==a²{dx² + sh²x(sin²9^²H_rd9²)). (111,12)

Поверхность сферы равна теперь 4na²sh²x и при удалении от начала координат (увеличении х) возрастает неограниченно. Объем пространства отрицательной кривизны, очевидно, беско­нечен.

Задача

Преобразовать элемент длины (111,7) к виду, в котором он был бы пропорционален своему евклидову выражению (конформно-евклидовы ко­ординаты).

Решение. Подстановка

2

! + XT 4a³

приводит к результату:

dl² шт (l + (dr] -f г] М^г + r\ sin² в rf<p²)-