§ 110. Излучение гравитационных волн

Рассмотрим слабое гравитационное поле, создаваемое тела­ми, движущимися со скоростями, малыми по сравнению со ско­ростью света.

') Это можно показать с помощью уравнения (109,7) в точности тем хе способом, как это было сделано в § 97 для аналогичного трехмерного уравнения в синхронной системе отсчета. Как в там, происхождение фикл тивной особенности связано с пересечением координатных линий.

51»! , Излучение гравитационных волн 45j

Благодаря наличию материи уравнения гравитационного поля будут отличаться от простого волнового уравнения вида ОА*=0 (107,8) наличием в правой стороне равенства членов, происходя­щих от тензора энергии-импульса материи. Напишем эти урав­нения в виде

ia+^b~5£-t?. (lio.i)

где мы ввели вместо А? более удобные для этого случая вели­чины

■ф? = А? — ₂ fit А,

а т< условно обозначает дополнительные выражения, получаю­щиеся при переходе в точных уравнениях тяготения к случаю слабых полей в рассматриваемом приближенна! Легко убе­диться в том, что компоненты т° и т" получаются непосредствен­но из соответствующих компонент 2* путем выделения из них величин интересующего нас порядка малости; что же касается компонент тр\ то они содержат наряду с членами, получаю­щимися из 7|, также и члены второго порядка малости из Я?-4 б*/?¹).

Величины ф* удовлетворяют условию (107,5) дф*/о\** = 0. Из (ПО, 1) следует, что такое же уравнение имеет место и для т*:

•-7 = 0. (110,2)

Это уравнение заменяет здесь общее соотношение Г? _;а = 0.

Рассмотрим с помощью написанных уравнений вопрос об энергии, излучаемой движущимися телами в виде гравитацион­ных волн. Решение этого вопроса требует определения гравита­ционного поля в «волновое зоне», т. е. на расстояниях, больших по сравнению с длиной излучаемых волн.

Все вычисления принципиально вполне аналогичны тем, ко­торые мы производили для электромагнитных волн. Уравнения

') Из уравнений (110,1) можно вновь получить использованные в § 106 формулы (106,1—2) для слабого постоянного поля вдали от тел. В первом приближении пренебрегаем членами со вторыми производными по времени (содержащими 1/с²), а из всех компонент т* оставляем лишь Tq = р.с². Решение уравнений Дф£ = 0, Дфд=0, Дф|}«= 16пк\1/с\ обращающееся на бесконечно­сти в *уль, есть 1|>|=в, *=% ^{= 4}Фг^,<;2. где — ныото»в*екий гравита­ционный потенциал; ср. уравнение (99,2). Отсюда для тензора h^k — ipf — '/«Чю* получаются «начення (106, 1—2).

слабого гравитационного поля (110,1) по форме совпадают с уравнением запаздывающих потенциалов (§ 62). Поэтому их общее решение можно сразу написать в виде

■+?»-£$(т?)«-я*-х. ("0,8)

Поскольку скорости всех тел в системе малы, то для поля на больших расстояниях от системы можно написать (ср. §§ 66 и 67):

+? = —^-$(^т*)'-л/_е^. (110,4)

где R_Q — расстояние от начала координат, расположенного где-нибудь внутри системы; индекс t — R₀/c в подынтегральных вы­ражениях мы будем ниже для краткости опускать.

Для вычисления этих интегралов воспользуемся уравнениями (110,2). Опуская индексы у т* и выделяя пространственные и временные компоненты, пишем (110,2) в виде

IxT-^r^⁰' 1йг-17—°- ^(ll0'⁵⁾

Умножив первое уравнение на *p, проинтегрируем по всему про­странству

Поскольку на бесконечности т<* = 0, то первый интеграл правой части, будучи преобразован по теореме Гаусса, исчезает. Полу­сумма оставшегося равенства и его же с переставленными ин­дексами дает:

^{J -tafidV = -4-^5 (Wp + т}_р0^*а)dV.

Далее умножим второе из уравнений (110,5) на js°jt^p и тоже проинтегрируем по всему пространству. Аналогичное преобразо­вание приводит к равенству

^{■^5- \ х^хШ = - J (х}_а0^{х& + х^ха) dV.}

Сравнивая оба полученных результата, находим:

\*а^У=±(-£г)²\т_тХ«хЫУ. (110,6)

Таким образом, интегралы от всех т_ар оказываются выра­женными через интегралы, содержащие только компоненту тм. Но эта последняя, как указано выше, совпадает с соответствую­шей компонентой Т₀о тензора энергии-импульса, и с достаточной точностью (см. (99,1)) имеем:

Тоо=рс². (110,7)

Подставляя это в (110,6) и вводя время t = x°/c, переписываем (110,4) в виде

^t=-^-wW^xm- ^(110,8)

На больших расстояниях от тел можно рассматривать волну (в небольших участках пространства) как плоскую. Поэтому можно вычислить поток энергии, излучаемой системой, скажем, в направлении оси X^х, воспользовавшись формулой (107,12). В эту формулу входят только компоненты А₂з = фгз и А22 — Азз= = ih₂2 —ярзз. Из (110,8) находим для них выражения¹)

^Лй=~"з1^Г^²³' ^Л22 — Азз= —-3^(^22 —-Озз) (110,9)

(точка означает дифференцирование по времени), где введен тензор квадрупольного момента масс (99,8)

^Ах₀ ^{= \ 11 @хах» - r26}_ap^{) dV. (110,10)}

В результате находим плотность потока энергии в направлении оси х¹ в виде

Поток энергии в элемент телесного угла в данном направлении получится отсюда умножением на Rldo.

Два члена в этом выражении отвечают излучению волн двух независимых поляризаций. Для записи их в инвариантном (не зависящем от выбора направления излучения) виде, введем трехмерный единичный тензор поляризации плоской гравита­ционной волны е_а&, определяющий, какие именно из компонент Аов отличны от нуля (в калибровке Ад, в которой Аоа = Аоо — = А = 0). Тензор поляризации симметричен и удовлетворяет условиям

е_аа = 0, е„_р«р = 0, е_аре_ар=1, (110.12)

где п — единичный вектор в направлении распространения вол­ны; первые два условия выражают тензорность и поперечность волны.

') Тензор (110,8) не удовлетворяет тем условиям, при которых была выведена формула (107,12). Однако преобразование системы отсчета, при­водящее ha, к требуемой калибровке, не затрагивает значений используемых здесь компонент (110,9).

С помощью этого тензора интенсивность излучения заданной поляризации в телесный угол do запишется в виде

^d/=w^^e«p)^2d0- (¹¹⁰'^,3)

Это выражение зависит от направления п неявным обра­зом— через условие поперечности еавЯр = 0. Суммарное угловое распределение излучения всех поляризаций получается сумми­рованием (110,13) по поляризациям или, что то же, усреднением по поляризациям и умножением результата на 2 (число незави­симых поляризаций). Усреднение осуществляется формулой

— («_ara_v6g_fi -f «_pn_Y6_a6 -f n_un_e6_pv + п^п₆Ь_ау) —

- 6_a Д_а + + 6_pv6_G6)) (110,14)

(выражение справа — тензор, составленный из единичного тен­зора и компонент вектора п, обладающий требуемой симметрией по своим индексам, дающий единицу при упрощении по парам индексов а, у и 6, б, и обращающийся в нуль при скалярном умножении на п). В результате находим:

^dI — 3&L⁵ ["Т (Ачг^р)² + Т ~ ^орЬ_в7Яр/ц] de. (110,15)

Полное излучение по всем направлениям, т. е. потерю энер­гии системой в единицу времени (—d&fdt), можно найти, усред­нив dl/do по направлениям п и умножив результат на 4я. Усред­нение легко производится с помощью формул, приведенных в примечании на стр. 250, и приводит к выражению (Л. Эйнштейн, 1918)

Отметим, что излучение гравитационных волн оказывается эффектом пятого порядка по 1/с. Это обстоятельство, вместе с малостью гравитационной постоянной k, приводит, вообще го­воря, к чрезвычайной малости эффекта.

Задачи

1. Два тела, притягивающиеся по закону Ньютона, движутся по кру­говым орбитам (вокруг их общего центра инерции). Определить среднюю (по периоду обращения) интенсивность излучения гравитационных волн и его распределение по поляризациям и направлениям.

Решение. Выбрав начало координат в центре инерции, имеем для радиус-векторов двух тел:

Компоненты тензора (плоскость ху совпадает с плоскостью движения): Dxx = |w^J (3 cos² ф - 1), Dg_y = цг^г (3 sin* ф - 1), = 3p.r^! cos ф sin ф, /)_гг = — р,г²,

где ц = т_хт.г1(т\ + т₂), яр — полярный угол вектора г в плоскости ху. При круговом движении г = const, а ф = г^-3'² «Jk (т, m₂) «•

Направление п задаем сферическими углами (полярным . углом 9 и азимутом ф) с полярной осью г, перпендикулярной к плоскости движения. Рассматриваем две поляризации, для которых: 1) е^ = '/У 2. ^ ^едв = —-—^==1/^/2. Проецируя тензор/)_а^«а направления сферических рртов и еф₍ вычисляя по формуле (110,13) и усредняя по временя, получим в результате для этих двух случаев и для суммы / = U + 1₂:

-ЪТ " - ^{4 cos 9}' ~dV = "fe- ⁽¹ +^{cos2 9)} '

dl ₌ feuWr⁴ do 2яс

5- (1 + 6 cos² 9 -f cos⁴ 9),

и после интегрирования по направлениям:

dg 32*uW⁴ Ш^Ат\ш\ (m, + т₂) /, ₌ 5

~ dt ~~ 5с⁵ 5cV⁵ ' ^ У

(для вычисления одной лишь полной интенсивности / следовало бы, ко­нечно, воспользоваться (110,16)).

Потеря энергии излучающей системой приводит к постепенному (как говорят, вековому) сближению обоих тел. Поскольку 8 = —кт_{т₂12г, то скорость сближения

• 2г² d<S 64fe³/n₁m? (wi + т_г)

km.im₂ dt 5cV³