§ 109. Сильная гравитационная волна

В этом параграфе будет рассмотрено решение уравнений Эйнштейна, представляющее собой обобщение слабой плоской гравитационной волны в плоском пространстве-времени (/. Ro­binson, Н. Bondi, 1957).

Будем искать решение, в котором все компоненты метриче­ского тензора оказываются, при надлежащем выборе системы отсчета, функциями лишь одной переменной, которую назовем х° (не предопределяя, однако, ее характера). Это условие допу­скает еще преобразования координат вида

х^а-+х^а + у^а(х°), (109,1)

x?-*q°(x°), (109,2)

где ф°, ф^а — произвольные функции.

Характер решения существенно зависит от того, можно ли тремя преобразованиями (109,1) обратить все g_0a в нуль. Это можно сделать, если определитель i g_np \ф0. Действительно, при преобразовании (109,1) goa ->■ g^ + £<хвФ^р (где точка означает дифференцирование по х°); при |g„_p 1=^=0 система уравнений

goa + ga^ = 0

определяет фР(д:⁰), осуществляющие требуемое преобразование. Такой случай будет рассмотрен в § 117; здесь же нас будет интересовать решение, в котором

|£а«1 = 0. (109,3)

В таком случае системы отсчета, в которой бы все go_e = 0, не существует. Вместо этого, однако, четырьмя преобразова­ниями (109,1—2) можно добиться того, чтобы было

goi=h goo = 2о2 = #03 = 0. (109,4)

Переменная х° имеет при этом «световой» характер: при dx^a = 0, dx° ф 0 интервал ds = 0; выбранную таким образом переменную дс° будем обозначать ниже как х° = г\. Элемент интервала при условиях (109,4) можно представить в виде

ds² — 2dx^ldi\ + g_ab (dx^a + g^adx^l) (dx^b + g*dx^l). (109,5)

Здесь и ниже в этом параграфе индексы а, Ь, с, ... пробегают значения 2, 3; gabin) можно рассматривать как двухмерный тен-вор, а две величины g^a(r\) — как компоненты двухмерного век­тора. Вычисление величин R_ab приводит к следующим уравне­ниям поля:

1

^{Rab = — 2" gacgCgbdgd = О-}

Отсюда следует, что g_acg^c = 0 или g^c = 0, т. е. g" = const. Пре­образованием х^а-\- g^ax^x -*■ х^а можно поэтому привести рассма­триваемую метрику к виду

ds² = 2dx^vdx\ + g_ab (п) dx'dx*. (109,6)

Определитель — g этого метрического тензора совпадает с определителем \gab\, а из всех символов Кристоффеля отличны от нуля лишь следующие:

Гбо = -|"^х*» Г«⁶ = — х_аь •

где мы ввели двухмерный тензор x_ab=gab, х*= g^bcx_ac. Из всех компонент тензора Риччи не обращается тождественно в нуль лишь Яоо. так что имеем уравнение

Яоо у^-|хМ = 0. (109,7)

Таким образом, три функции £22(11), ёмСп), £33(11) должны удовлетворять всего одному уравнению. Поэтому две из них мо­гут быть заданы произвольно. Удобно представить уравнение (109,7) в другом виде, написав величины g_ab в виде

gab=-%*4ab, lY_e»l=l. (109,8)

Тогда определитель —g~\gab\ = %* и подстановка в (109,7} дает после простого преобразования

X + ^Ya^XYMV^X^O (109,9)

(V^a* — двухмерный тензор, обратный тензору у_аь). Если задать произвольные функции у_аь{г\) (связанные друг с другом со-

отношением |уа&|=1), этим уравнением определится функт иия 5с(л>-

Мы приходим, таким образом, к решению, содержащему две произвольные функции. Легко видеть, что оно представляет со­бой обобщение рассмотренной в § 107 слабой плоской гравита­ционной волны (распространяющейся в одном направлении)¹). Последняя получается, если произвести преобразование

t+x , t—x

^х "vr

и положить у_аь — 8_ab + hab(r\) (где п_аь — малые величины, под­чиненные условию Й22 4- Азз == 0) и х = 1; постоянное значение % удовлетворяет уравнению (109,9), если пренебречь в нем ма­лыми членами второго порядка.

Пусть через какую-либо точку х пространства проходит сла­бая гравитационная волна конечной протяженности («волновой пакет»). До начала прохождения имеет h_ab — 0, % = 1; после конца прохождения снова п_аь = 0, d²%/dt² = 0, но учет членов второго порядка в уравнении (109,9) приведет к появлению от­личного от нуля отрицательного значения d%/dt:

(интеграл берется по времени прохождения волны). Поэтому после прохождения волны будет % = 1 — const -t и по истечении конечного промежутка времени % изменит знак. Но обращение 1 в нуль есть обращение в нуль метрического определителя g, т. е. особенность в метрике. Эта особенность, однако, не имеет физического характера; она связана лишь с недостатками си­стемы отсчета, «испорченной» проходящей гравитационной вол­ной, и может быть устранена надлежащим ее преобразованием; после прохождения волны пространство-время оказывается в действительности снова плоским.

В этом можно убедиться непосредственным образом. Если отсчитывать переменную ц от ее значения, соответствующего особой точке, то % = Ц, так что

ds² = 2dx\dx^l - ту² [(dx²)² + (dx³)²].

После преобразования

У

цх² = у, Г]*³ = z, х

>² + г^г 2т,

получаем:

ds² = 2dy\dl-dy²-dz²,

') Решение родственного характера от большего числа переменных см. /. Robinson, A. Trautman, Phys. Rev. Lett. 4, 431 (I960); Proc. Roy. Soc. A265, 463 (1962).

й подстановка r\*=(t + т}/^, ? = (f — *УУ? окончательно при­водит метрику к галилеевой форме.

Это свойство гравитационной волны —вознжфовеиие фиктив-йой особенности— не связано, конечно, с ее слабостью и при­суще также в общему решению уравнения (109,7); как и в рас­смотренном примере, вблизи особенности % ~ Л. ^т- ^е- ~§ ~ Л⁴ ')•

Задача

Найти условие, при котором метрика вида

ds^s =• dfi — cfjt³ — dg² — dz¹ + f{t — x, у, z) {dt — dtf

является точным решением уравнений Эйнштейна для тюля в пустоте (A, Petes, I960).

Решение. Тензор Риччи вычисляется проще всего в ' координатах и »= (/ — *)/У2, v =« (< -4- x)/V2, jr, г, в которых

ds¹ «= — tf у* — dz² + 2 rf« <fe + 2f (и, г) du*.

Помимо #аг = #sj = — 1, отличны от нуля лишь следующие компоненты метрического тензора: g_uu = 2/, #„,= 1; при этом = g^av = 1, а определитель g = — 1. Прямое вычисление по (92,1) дает для отличных от нуля компонент тензора кривизны.

п <?^г/ г, _ *²\ п ₌ 5²/

«уиуи = -щг> *да»=»--5рг. *W» "dTdl'

Единственная отличная от нуля компонента тензора Риччи: <= Л/, где Д — оператор Лапласа по координатам и, г. Таким образом, уравнение Эйнштейна: Af = 0, т. е. функция f(t~-x, у, г) должна быть гармонической по переменным у, 2.

Если функция f не зависит от у, z или линейна во этим переменным, поле отсутствует^- пространство-время плоское (тензор кривизны обращается в нуль). Квадратичная по у, z функция

/ <«, у, ж) - yzU («} + у iy¹ - z*) h («)

отвечает плоской волне, распространяющейся в положительном направлении оси х\ действительно, тензор кривизны в таком поле зависит только от t — *з

^{Куиги""— fi ("}> Ryuyu = —#z«zu =—ft (»)•}

В соответствии с двумя возможными волярязацияш* водны метрика содер­жит в этом случае две произвольные функции fi(«) и h(u).