§ 10. Преобразование функции распределения

В различных физических вопросах приходится иметь дело с пучками частиц, обладающих различными импульсами. Состав такого пучка, его импульсный спектр, характеризуется функцией распределения частиц по импульсам: f(p)dp_xdp_ydp_z есть доля числа частиц, обладающих импульсами с компонентами в за­данных интервалах dp_x, dp_g, 4р_г (или, как говорят для крат­кости, число частиц в заданном элементе объема d³p=dp_xdp_ydp_z «импульсного пространства»). В связи с этим возникает вопрос о законе преобразования функции распределения /(р) от одной системы отсчета к другой.

Для решения этого вопроса выясним предварительно свой­ства «элемента объема» dp_xdp_ydp_z по отношению к преобразо­ванию Лоренца. Если ввести четырехмерную систему координат, на осях которой откладываются четыре компоненты 4-им­пульса частицы, то dp_xdpydpz можно рассматривать как нуле­вую компоненту элемента гиперповерхности, определяемой урав­нением p'pi = mtc². Элемент гиперповерхности есть 4-вектор, на­правленный по нормали к ней; в данном случае направление нормали совпадает, очевидно, с направлением 4-вектора ри От­сюда следует, что отношение

dp_x dp_y dp_z

(10,1)

как отношение одинаковых компонент двух параллельных 4-век-торов, есть величина инвариантная¹).

Очевидным инвариантом является также доля числа частиц fdp_xdp_ydpz, не зависящая от выбора системы отсчета. Написав ее в виде

f(p)*

dp_x dp_a dp_z

и учитывая инвариантность отношения (10,1), мы приходим к выводу об инвариантности произведения Отсюда следует,

что функция распределения в системе К' связана с функцией распределения в системе К соотношением

_Пр'₎₌₌Ш*, _(W|2)

причем р и & должны быть выражены через р' и §' с помощью формул преобразования (9,15).

Вернемся к инвариантному выражению (10,1). Если ввести «сферические координаты» в импульсном пространстве, то эле­мент объема dp_xdpydp_z заменится на р² dp do, где do — элемент телесного .угла для направлений вектора р. Замечая, что pdp = *=<SdS/с² (согласно (9,6)), имеем:

') Интегрирование по элементу (10.1) может быть представлено в че­тырехмерном виде с помощью б-функции (см. примечание на стр. 100) как интегрирование по

j6(pⁱp_{-mV)d*p, d*p = dp*dp^ldp³dp\ (Ifl.la)

При этом четыре компоненты р* рассматриваются как независимые перемен­ные (причем р° пробегает лишь положительные значения). Формула (10,1аХ очевидна из следующего представления фигурирующей в ней б-функции:

^{6 (}_Р^{% - «v) = б (pi - -5) - jl [б (}_Ро^{+£.) + б (}_Ро ^{- £.)], (юлб)}

где Ш = с Vp² + от²с²» В свою очередь эта формула следует из формулы (8},'приведенной в примечании на стр. 100.

р² dpdo pd% do

Таким образом, находим, что инвариантно также и выражение

pd&do. (10,3)

В другом аспекте понятие о функции распределения фигурирует в кинетической теории газов: произведение /(г, p)dp_xdp_ydpzdV есть число частиц, находящихся в заданном элементе объема dV и обладающих импульсами в заданных интервалах dp_x, dp_y, dp* Функцию /(г, р) называют функцией распределения в фазовом пространстве (пространство коорди­нат и импульсов частицы), а произведение дифференциалов dx — d³p dV — элементом объема этого пространства. Выясним закон преобразования этой функции.

Введем наряду с двумя системами отсчета К я К' еще и си- стему Ко, в которой частицы с рассматриваемым импульсом покоятся; именно по отношению к этой системе определяется собственный объем dVo элемента, занимаемого данными части- цами. Скорости систем К я К' относительно системы К₀ совпа- дают, по определению, со скоростями v и v', которыми обла- дают эти частицы в системах К и К'. Согласно (4,6) имеем поэтому:

dV = dV_uAj\-^r, dV^dV^l^^,

откуда

dV ЯГ

dV & *

Перемножив это равенство с равенством d³p/d³p''== &f<§', най­дем, что

dx = dx^,_i (10,4)

т. е. элемент фазового объема инвариантен. Поскольку инва­риантом является, по определению, также и число частиц fdx, то мы приходим к выводу об инвариантности функции распре­деления в фазовом пространстве:

Г(г',р^/) = /(г,р), (:о,5)

где г', р' связаны с г, р формулами преобразования Лоренца. § II. Распад частиц

Рассмотрим самопроизвольный распад тела е массой М на две части с массами nil и Закон сохранения энергии при рас­паде, применённый в системе отсчета, в которой тело покоится, дает ¹):

M = S_w + &_mt (U_tl)

') В § 11—13 полагаем с — 1. Другими словами, скорость света выби­рается в качестве единицы измерения скоростей (при этой размерности дли­ны и времени становятся одинаковыми). Такой выбор является естествен­ным в релятивистской механике и очень упрощает запись формул. Однако где и о₂о— энергии разлетающихся частей. Посколь-

ку If к) > mi и If го > т₂, то равенство (11,1) может вы­полняться лишь, если М > mi + т₂, т. е. тело может самопроиз­вольно распадаться на части, сумма масс которых меньше массы тела. Напротив, если М <; т_х -f- т₂, то тело устойчиво (по отношению к данному распаду) и самопроизвольно не распа­дается. Для осуществления распада надо было бы в этом случае сообщить телу извне энергию, равную по крайней мере его «энергии связи» (т_х-\-т₂— М).

Наряду с законом сохранения энергии при распаде должен выполняться законом сохранения импульса, т. е. сумма импуль­сов разлетающихся частей, как и первоначальный импульс тела, равна нулю: р₁₀ + р2о = °- Отсюда p\_Q = p²_2Q, или

^{#ю — т\ = &W — т\- (11,2)}

Для уравнения (11,1) и (11,2) однозначно определяют энергии разлетающихся частей:

ЛГ² + т\ - т\ М²-т² + т\

Ш > °20 2УИ

(11,3)

В некотором смысле обратным является вопрос о вычисле­нии суммарной энергии М двух сталкивающихся частиц в си­стеме отсчета, в которой их суммарный импульс равен нулю (или, как говорят для краткости, в системе центра инерции или в «^-системе»). Вычисление этой величины дает критерий, опре­деляющий возможность осуществления различных процессов неупругих столкновений, сопровождающихся изменением состоя­ния сталкивающихся частиц или «рождением» новых частиц. Каждый такой процесс может происходить лишь при условии, что сумма масс всех «продуктов реакции» не превышает М.

Путь в исходной (или, как говорят, лабораторной) системе отсчета частица с массой ту и энергией <S\ сталкивается с по­коящейся частицей с массой т₂. Суммарная энергия обеих частиц

£Г = <£_х -j- <$^,₂ — &\ + ^т2>

а суммарный импульс р = Pi -f- P2 = Pi- Рассматривая обе ча­стицы вместе как одну сложную систему, мы найдем скорость ее движения как целого согласно (9,8):

V = -t = —li—. (11,4)

в этой книге (значительное место в которой уделено и нерелятивистской тео­рии) мы, как правило, не будем пользоваться такой системой единиц, а при ее использовании будем каждый раз оговаривать это.

Если в формуле положено с = 1, то возвращение к обычным единицам не представляет труда: скорость света вводится в нее таким образом, чтобы обеспечить правильную размерность.

Это и есть скорость движения ^-системы относительно лабора­торной системы (л-системы).

Однако для определения искомой массы М нет необходи­мости фактически производить преобразование от одной системы отсчета к другой. Вместо этого можно непосредственно восполь­зоваться формулой (9,6), применимой к составной системе в такой же мере, как и к каждой частице в отдельности. Таким образом, имеем:

М² = <У² - р² = (ИГ, + т₂У - {$\ - т\),

откуда

М² = т\ + ml + 2т₂<Г₍. (11,5)

Задачи