Глава XIII

ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

§ 107. Слабые гравитационные волны

Конечность скорости распространения взаимодействий при­водит в релятивистской теории тяготения, как и в электродина­мике, к возможности существования не связанного с телами сво­бодного гравитационного поля — гравитационных волн.

Рассмотрим слабое свободное гравитационное поле в пустоте. Как и в § 105, введем тензор Л,-*, описывающий слабое возмуще­ние галилеевой метрики:

gtk = £$+h_tk. (107,1)

При этом с точностью до величин первого порядка по Л,₄ кон­травариантный метрический тензор:

gr'* = gr'ft О) — h^lk, (107,2)

а определитель тензора gik:

g = g^l0)V+h), (107,3)

где h^h\; все операции поднимания и опускания тензорных индексов производятся по невозмущенной метрике gfl.

Как было уже указано в § 105, условие малости hik остав­ляет возможность произвольных преобразований системы от­счета вида х^п = х¹ + V с малыми при этом

(Ю7.4)

Воспользовавшись этим произволом в калибровке (как говорят в этой связи) тензора hik, налагаем на него дополнительное условие

^{0- = О, ф? =} _Л^{?-1о?Л, (107,5)}

после чего тензор Риччи принимает простой вид (105,11):

Rik = jah_lk, (107,6)

где □ обозначает оператор д'Аламбера:

_ ,.,л, д² 1 д^г

Условия (107,5) все еще не фиксируют однозначного выбора системы отсчета: если некоторые удовлетворяют этим усло­виям, то им же будут удовлетворять и hi_k (107,4), если только £' являются решениями уравнения

□ |'=»0. (107,7)

Приравняв выражение (107,6) нулю, найдем, таким обра­зом, уравнения гравитационного поля в пустоте в виде

□ А* = 0. (107,8)

Это — обычное волновое уравнение. Следовательно, гравитаци­онные поля, как и электромагнитные, распространяются в пу­стоте со скоростью света.

Рассмотрим плоскую гравитационную волну. В такой волне поле меняется только вдоль одного направления в простран­стве; в качестве этого направления выберем ось х¹=х. Уравне­ния (107,8) тогда превращаются в

решением которых является любая функция от / ± х/с (§ 47).

Пусть волна распространяется в положительном направле­нии оси х. Все величины hf в ней являются функциями от t—х/с. Дополнительные условия (107,5) дают в этом случае •фг — ip? = 0, где точка над буквой означает дифференцирование по t. Эти равенства можно проинтегрировать, просто вычеркнув знак диф­ференцирования; постоянные интегрирования можно положить равными нулю, так как мы интересуемся здесь (как и в случае электромагнитных волн) только переменной частью поля. Таким образом, между отдельными компонентами и)? имеются соотно­шения:

ф! = *1, *» = i& 4>з = грз, = -Ф8- (107,10)

Как было указано, условия (107,5) еще не определяют одно­значно системы отсчета; мы можем подвергнуть координаты пре­образованию вида х^п = х' -f-1'(/ — х/с). Этим преобразованием можно воспользоваться для того, чтобы обратить в нуль четыре

0 0 0 2 3

величины: ipi, i|>₂, грз, 'Фз + 'Фз. Из равенств (107,10), следует, что при этом обратятся в нуль также и компоненты яр}. 'Фг, ярз» яро. Что же касается остающихся величин tj>|, ip| — яр», то их нельзя обратить в нуль никаким выбором системы отсчета, по­скольку при преобразовании (107,4) с b = b{t— х/с) эти ком­поненты вообще не меняются. Заметим, что обращается в нуль и ар == гр!-, а потому яр* = h\.

Таким образом, плоская гравитационная волна определяется двумя величинами: h₂z, Агг = —Азз. Другими словами, гравита­ционные волны являются поперечными волнами, поляризация ко­торых определяется симметричным тензором 2-го ранга в пло­скости yz и сумма диагональных членов которого А₂₂ -j- А₃₃ равна нулю. В качестве двух независимых поляризаций можно выбрать случаи, в которых отлична от нуля одна из двух величин А₂₃ и '/2(^22 — А₃₃). Такие две поляризации отличаются друг от друга поворотом на угол я/4 в плоскости yz.

Вычислим псевдотензор энергии-импульса в плоской грави­тационной волне. Компоненты t^ik — величины второго порядка малости; мы должны вычислить их, пренебрегая членами еще более высокого порядка. Поскольку при А = 0 определитель g отличается от g<°> ==—1 лишь величинами второго порядка, то в общей формуле (96,9) можно положить g'*, / « g^ik,i да —А»'*, Для плоской волны все отличные от нуля члены в t^ik заключены в члене

1 U km nr pq 1 , п, i _uq. k

-2~g g gnpgqrg ,1Я ,т=2"^Л4 Пп

в фигурных скобках в (96,9) (в этом легко убедиться, выбрав одну из осей галилеевой системы отсчета в направлении распро­странения волны). Таким образом,

Поток энергии в волне определяется величинами — cgt^0a «г « с/^0а. В плоской волне, распространяющейся вдоль оси х¹, в которой отличные от нуля А₂з и А₂г = —Азз зависят только от разности t — х/с, этот поток направлен вдоль той же оси х¹ и равен

^С/Ш =тЙг[^ + Т(fe - Азз)²]- (Ю7,12)

Начальные условия для произвольного поля гравитационных волн должны задаваться четырьмя произвольными функциями координат: в силу поперечности волн имеется всего две незави­симые компоненты А_ар, вместе с которыми должны быть заданы также и их первые производные по времени. Хотя этот подсчет мы произвели здесь исходя из свойств слабого гравитационного поля, но ясно, что его результат — число 4 — не может быть свя­зан с этим предположением и относится к любому свободному, т. е. не связанному с гравитирующими массами, гравитацион­ному полю.

Задача

Определить тензор кривизны в слабой плоской гравитационной волне. Решение. Вычисляя /f_iWm по формуле (105,8), найдем следующие отличные от нуля компоненты:

— #0202 = #CSD3 — '— Л1212 = #0212 = #0331 ⁼ #3131 = С, #0203 = — #1231 = — #0312 = #0231 ⁼ 1*>

где обозначено: а = — — й₃₃ = -j А_22> ц = —^ В терминах введен»

ных в (92,15) трехмерных тензоров Л_ар и В_а^ имеем:

/О 00ч /00 0ч

Л_ар = ( 0 -от ц V В_аз = ( 0 ц а). Vo [кг/ \0 а — и./

Надлежащим поворотом осей х^г, х³ можно обратить (в заданной точке 4-про-странства) одну из величин а или и. в нуль; обратив в нуль величину а, приведем тензор кривизны к вырожденному типу Петрова II (тип Л/).