1. Определить действие для гравитационного поля в ньютоновском при­ближении.

Решение. С помощью gik из (106,3) по формуле (93,3) находим G = 1= 2(V<p)³/^c4. так что действие для поля

Полное действие для поля вместе с массами, распределенными в простран­стве с плотностью р.:

Легко убедиться в том, что варьирование S по <р приводит, как и следовало, к уравнению Пуассона (99,2).

Плотность энергии находится из плотности функции Лагранжа Л (подын­тегральное выражение в (1)) согласно общей формуле (32,5), что сводится в данном случае (в силу отсутствия в Л производных от ср по времени) к изменению знака второго и третьего членов. Интегрируя плотность энер­гии по пространству, подставив при этом во втором члене р,<р = фДф/4яй и интегрируя его по частям, получим окончательно полную энергию поля и материи в виде

') Уравнения движения, соответствующие этой функции Лагранжа, были впервые получены Эйнштейном, Инфельдом и Гоффманом (A. Einstein, L. Infeld, В. Hoffman, 1938) и Эддинетоном и Кларком (A. Eddington, G. Clark, 1938).

(вычисленной с go, из (106,3)); вклад в W возникает также и из (—g)Tik.

Следовательно, плотность энергии гравитационного поля в ньютоновской теории есть W — — (Уф)⁴/8лЛ ⁵).

2. Определить координаты центра инерции системы гравитирующих тел во втором приближении.

Решение. Ввиду полной формальной аналогии между законом Нью­тона для гравитационного взаимодействия и законом Кулона для электро­статического взаимодействия координаты центра инерции даются формулой

„2

R

аналогичной формуле, полученной в задаче 1 § 65.

3. Определить вековое смещение перигелия орбиты двух гравитирующих тел сравнимой массы (Н. Robertson, 1938).

Решение. Функция Лагранжа системы двух тел

гп\ь\ _| m₂v²_{2 |} кщт₂ 1

fcm,m₂ Го /2 , ,.2\ г, /., ., \ /., \ / „м k²niim₂ (m, + ш₂)

+ [3 (v\ +4)-7 (_Vlv₂) - (_Vln) (v₂„)] -

г и т - ' П-г^ - V'l'V V'2'VJ 2с²г²

Переходя к функции Гамильтона и исключая из нее движение центра инер­ции (ср. задачу 2 § 65), получим:

2 v ^mi ^т>) ^{Т 8с} V щ ^ш\) - -к [³"' (^7+ 1г) ^{+ 7}" ⁺ Н⁺ "'•'""^ ⁺ ""'' <"

где р — импульс относительного движения.

Определим радиальную составляющую импульса р_г как функцию пере­менной г и параметров М (момент импульса) и S (энергия). Эта функция определяется из уравнения Ж = & (при этом в членах второго порядка надо заменить р² его выражением из нулевого приближения):

1/1 1 N / , , М² \ km,m₂ *⁼⁼-2{-m7 ⁺ -m-jK^Pr ⁺ -7²-) г

8е^{2 m}t J \^mi + ^т2/ \ ^r )

2 , k²mim₂ (m_x + m₂) 2cV ^{Pr +} 2cV²

Дальнейший ход вычислений аналогичен произведенным в § 101. Опре­делив из написанного алгебраического уравнения р_г, производим в интеграле

преобразование переменной г так, чтобы привести член, содержащий М\ к виду М²/г². Произведя затем в подкоренном выражении разложение по малым релятивистским поправкам, получим!

(ср. (101,6)), где А, В — постоянные коэффициенты, в явном вычислении которых нет необходимости.

В результате для смещения перигелия орбиты относительного движения получим:

Ъп$т\т\ 6я& [т_х + m₂) ^6ф= с²М^{2 =} с²а(1-е²) "

Сравнивая с (101,7), мы видим, что при заданных размерах и форме орбиты смещение перигелия такое же, каким оно было бы при движении одного тела в поле неподвижного центра с массой mi + m₂.

4. Определить частоту прецессии шарового волчка, совершающего орби­тальное движение в гравитационном поле вращающегося вокруг своей оси центрального тела.

Решение. В первом приближении искомый эффект представляется суммой двух независимых частей, одна из которых связана с неньютоно-востью центрально-симметричного поля (Н. Weyl, 1923), а другая — с вра­щением центрального тела (L. Schiff, 1960).

Первая часть описывается дополнительным членов в функции Лагранжа волчка, соответствующим второму члену в (106,17). Представим скорость отдельных элементов волчка (с массами dm) в виде v = V + [шг], где V — скорость его орбитального движения, га— угловая скорость, г — радиус-век­тор элемента dm относительно центра инерции волчка ^так что интеграл по

объему волчка ^ г dm = 0^. Опустив члены, не зависящие от с», а также пренебрегая квадратичными по «> членами, имеем:

где т' — масса центрального тела, R =|Ro + r| —расстояние от центра поля до элемента dm, R₀ — радиус-вектор центра инерции волчка. При разложении 1/R« 1//?о — пг//?д (где п == Ro/Яо) интеграл от первого члена обращается в нуль, а во втором интегрирование производится с помощью формулы

где / — момент инерции волчка. В результате получим:

_6<1)i== JW _(М

где М = /са — вращательный момент волчка.

Дополнительный член в функции Лагранжа, обязанный вращению цен­трального тела, можно было бы также найти из (106,17), но еще проще вычислить его с помощью формулы (1) из задачи 2 к § 105: где М' — момент центрального тела. Разложив

я произведя интегрирование, получим:

6⁽²⁾L = -А- {ММ' - 3 (пМ) (пМ')}.

с²М

Таким образом, полная добавка к функции Лагранжа

6L = - МО, В = [nv₀] + ~ {Зп (пМ') - М'}.

Этой функции отвечает уравнение движения

^4£--ЦШ]

(ср. уравнение (2) из задачи 2 к § 105). Это значит, что момент волчка М прецессирует с угловой скоростью Q, оставаясь постоянным по своей ве­личине,