§ 106. Уравнения движения системы тел во втором приближении

Как мы увидим ниже (§ 110), система движущихся тел излу­чает гравитационные волны, теряя при этом энергию. Эта по­теря, однако, появляется лишь в пятом приближении по 1/с. В первых же четырех приближениях энергия системы остается постоянной. Отсюда следует, что система гравитирующих тел может быть описана с помощью функции Лагранжа с точностью до членов порядка 1/с⁴ в отличие от электромагнитного поля, где функция Лагранжа существует, в общем случае, только с точностью до членов второго порядка (§ 65). Мы дадим здесь вывод функции Лагранжа системы тел с точностью до членов второго порядка. Тем самым мы найдем уравнения движения системы в приближении, следующем после ньютоновского.

При этом мы будем пренебрегать размерами и внутренней структурой тел, рассматривая их как «точечные»; другими сло­вами, мы ограничиваемся нулевыми членами разложения по сте­пеням отношений размеров тел а к их взаимным расстояниям I.

Для решения поставленной задачи мы должны начать с опре­деления в соответствующем приближении слабого гравитацион­ного поля, создаваемого телами на расстояниях, больших по сравнению с их размерами, но в то же время малых по сравне­нию с длиной излучаемых системой гравитационных волн л(а< r<7i ~ lc/v).

С точностью до величин порядка 1/с² поле вдали от тела лается полученными в предыдущем параграфе выражениями, обозначенными там как МУ; воспользуемся здесь этими выраже­ниями в форме (105,6а). В § 105 подразумевалось, что поле создается всего одним (находящимся в начале координат) те­лом. Но поскольку поле М* представляет собой решение линеа­ризованных уравнений Эйнштейна, для него справедлив принцип суперпозиции. Поэтому поле вдали от системы тел получится просто суммированием полей каждого из них; папишем его в виде

^=-|-<p6g, (106,1)

hl = jr<V, Ao=0, (106.2)

где

а

есть ньютонов гравитационный потенциал системы точечных тел (г_а — радиус-вектор тела с массой т_а). Выражение для интер­вала с метрическим тензором (106,1—2):

ds² = (1 -f ф) c4t² - (1 - -J ф) (dx²-f dy² -f dz²). (106,3)

Отметим, что члены первого порядка но ф имеются не только в goo, но и в g_a$; в § 87 было уже указано, что в уравнениях движения частицы поправочные члены в g_a$ приводят к величи­нам более высоких порядков малости, чем члены, происходящие от goo\ в связи с этим путем сравнения с ньютоновыми уравне­ниями движения можно было определить только goo-

Как будет видно из дальнейшего, для получения искомых уравнений движения достаточно знать пространственные компо­ненты п_а$ с полученной в (106,1) точностью (~1/с²); смешан­ные же компоненты (отсутствующие в приближении 1/с²) не­обходимо иметь с точностью до членов 1/с³, а временную h₀o — с точностью до членов 1/с⁴. Для их вычисления обратимся снова к общим уравнениям тяготения, учтя в них члены соответствую­щих порядков.

Пренебрегая размерами тел, мы должны писать тензор энер­гии-импульса вещества в форме (33,4—5). В криволинейных ко­ординатах это выражение переписывается как

Г» ₌ у *L б _(г _ _Га) (106,4)

ц V— g ds dt

(появление множителя l/V^— g — ^СР- ^с аналогичным переходом в (90,4)); суммирование производится по всем телам в системе. Компонента

_ V¹ т_ас³ 2 dt , , _ч

в гервом приближении (галилеевы g_ik) равна £т_ас²д (г —- г₀);

а

в следующем приближении подставляем g_ik из (106,3) и после простого вычисления получаем:

7oo = X>_ac²(l +^ + ^-)°(г-г_а), (106,5)

а

где v — обычная трехмерная скорость (v^a = dx^a/dt), а ф_а — по­тенциал поля в точке г_а (на наличие в ф_а бесконечной части — потенциала собственного поля частицы т_а — пока не обращаем внимания; о нем см. ниже).

Что касается компонент Т_а°, Т_0а тензора энергии-импульса, то для них, в том же приближении, достаточно оставить лишь первые члены разложения выражений (106,4):

_{Тш = Hmavaava.6 (г — гв), Г0С[ = — £/"ас0ааб (г — гв). (106,6)}

а а

Далее переходим к вычислению компонент тензора /?,*. Вы­числение удобно производить по формуле Rik = g Rimk с Ritmk из (92,1). При этом надо помнить, что величины п_а&, h₀₀ содер­жат члены порядка не ниже 1/с², а ft₀a — не ниже 1/с³; диффе­ренцирования по х° = ct в свою очередь повышают порядок малости на 1.

Главные члены в Rw порядка 1/с²; наряду с ними мы додж-ны сохранить также и члены следующего неисчезающего по­рядка — 1/с⁴. Простое вычисление приводит к результату:

i рй₀₀У 1 ay / дЩ, dh^a_a\

4\дх^а) 4 д**³ Ч дх^а dx* )'

В этом вычислении не было еще использовано никакого допол­нительного условия для величин hik. Пользуясь этой свободой, наложим теперь на них условие

dh* 1 dhl

^-17-af ^{= 0}» <¹⁰⁶>⁷>

в результате которого из /?₀₀ полностью выпадают члены, содер­жащие компоненты h_ua. В остальных членах подставляем

Ао = —-ргфоЕ, А₀₀ = -|-ф+ О (i)

и получаем, с требуемой точностью:

Доо = j А/г₀₀ + -|- фД_ф —|- (уф)², (106,8)

где мы перешли к трехмерным обозначениям.

При вычислении компонент R_0a достаточно сохранить лишь члены первого неисчезающего порядка — 1/с³. Аналогичным об­разом получим:

^Roa ~ 2с dt дх» ⁺ ~2 дх^адх» Тс ~dtdx^ ⁺ ~2 ^Л/г°^я и затем, с учетом условия (106,7):

С помощью полученных выражений (106,5—9)' составим те­перь уравнения Эйнштейна:

Rik=(T_ik - jgij) • (106,10)

Временная компонента уравнения (106,10) дает?

а

с помощью тождества

4(Уф)² = 2Д(ф²)-4фАф

и уравнения ньютоновского потенциала

Д<р = 4л&5>а6(г-г_а) (106,11)

а

переписываем это уравнение в виде

А (л₀о -1-Ф²) = ™ J т_а (l + + -§-) б (г - г_а). (106,

12)

а

После проведения всех вычислений мы заменили в правой сто­роне уравнения (106,12) ф_а на

т- е. на потенциал в точке г_а поля, создаваемого всеми телами, за исключением тела т_а; исключение бесконечного собственного потенциала тел (в используемом нами методе, рассматриваю­щем тела как точечные) соответствует «перенормировке» их масс, в результате которой они принимают свои истинные значе­ния, учитывающие создаваемые самими телами поля¹).

Решение уравнения (106,12) может быть написано сразу, учитывая известное соотношение (36,9)

А у — — 4лб (г).

Таким образом, найдем:

2_Ф 2ф² 2k _v т_а<р'_а ЗА _v m_av\ «оо — —+—< 2_, |_Г__Га| L |г — г_в| ' UOb.li)

а а

Смешанная компонента уравнения (106,10) дает:

с³ dt дх^а

а

.24

Решение этого линейного уравнения есть²)

^Я0«- сз Z. |,__Гв| _сз

64 дх"'

') Действительно, если имеется всего одно неподвижное тело, в правой части уравнения будет стоять просто (8лй/с²)т_аб(г — г_а), и это уравнение правильно (во втором приближении) определит создаваемое телом поле.

²) В стационарном случае второй член в правой части уравнения (106,14) отсутствует. На больших расстояниях от системы его решение может быть написано непосредственно по аналогии с решением (44,3) урав­нения (43,4):

2k

^А°а=---р^г[пМ]_а

^где М=* ^ [г • u,v]dV = т_а [r_av_a1 — момент импульса системы^, в соот­ветствии с формулой (105,19).

где / — решение вспомогательного уравнения

Учитывая соотношение Дг = 2/г, находим: / = —4Z^m«l^r"- ^га1»

а

и затем, после простого вычисления, окончательно получаем: ^hoa = -^rYj |г-"г_в I f^7Уаа + ^(УаП°^«J» (106,15)

а

где Па — единичный вектор в направлении вектора г — т_а.

Выражения (106,1), (106,13), (106,15) достаточны для вы­числения искомой функции Лагранжа с точностью до членов второго порядка.

Функция Лагранжа одного тела в гравитационном поле, соз­даваемом другими телами и рассматриваемом как заданное:

ds J vl vl «ЯоЦУ*

U = - m_ac-jf = - m_ac² + fi_w + 2h^ — - + h^—g- J .

Разлагая радикал и опустив несущественную постоянную — т_ас², переписываем это выражение с требуемой точностью как

, __ ^ma^vl , ^ma^va ^L° 2 8с²

- т_ас² (^L + ^ + ±. ft^Jog - -% + ^ о|). (106,16)

Значения всех hi_k здесь берутся в точке г_а; при этом снова должны быть опущены обращающиеся в бесконечность члены, что сводится к «перенормировке» массы т_а, стоящей в виде коэффициента в L_a-

Дальнейший ход вычислений состоит в следующем. Полная функция Лагранжа L системы, разумеется, не равна сумме функ­ций L_a для отдельных тел, но она должна быть составлена так, чтобы приводить к правильным значениям сил f_a, действующих на каждое из тел при заданном движении остальных. Для этого вычисляем силы f_a путем дифференцирования функции Лагран­жа La-

(дифференцирование производится по бегущим координатам г точки наблюдения в выражениях для hik). После этого легко составить такую общую функцию L, из которой все те же силы f_a получаются взятием частных производных dL/dr_a.

Не останавливаясь на простых промежуточных вычислениях, приведем сразу окончательный результат для функции Ла­гранжа '):

/ _ V ^т°^^а _1_ W ^Ъкта^тЬ°\ , V* ^таРа , V V' ^kmamb — ^L~ lu~~T"^ lulu 2c¹r_ab ~Т~ lu 8с² LL 2г_аЬ а а Ъ а а Ь

- Е Е' 1⁷ <^v«^v»>+<»«"■•> <^v»ⁿ"»>i -i

_{-EEE^e?. №'7)}

a b с

где г_аь = I Га — r_b |, п_аь — единичный вектор в направлении г_а — — Гь, а штрих у знака суммы означает, что должен быть опущен член с Ь = а или с —а.

Задачи