2. Определить систематическое (вековое) смещение орбиты частицы, движущейся в поле центрального тела, связанное с вращением последнего (/. Lense, н. Thirring, 1918).

Решение. Ввиду малости всех релятивистских эффектов они накла­дываются друг на друга линейно, и при вычислении эффектов, происходящих от вращения центрального тела, можно пренебречь рассмотренным в § 101 влиянием неньютоновости центрально-симметричного силового поля; други­ми словами, можно производить вычисления, считая из всех А;* отличными

ОТ нуля ЛИШЬ Лосе

Ориентация классической орбиты частицы определяется двумя сохраняю­щимися векторами: моментом импульса частицы М = [гр] и вектором

сохранение которого специфично для ньютонова поля ф = —km'[г (т' —. масса центрального тела, т — масса частицы); см. I § 15. Вектор М пер­пендикулярен к плоскости орбиты, а вектор А направлен вдоль большой полуоси эллипса в сторону перигелия (и по величине равен kmtn'e, где е — эксцентриситет орбиты). Искомое вековое смещение орбиты можно описы­вать как изменение направления этих векторов.

Функция Лагранжа частицы, движущейся в поле (105,19):

L = — тс ~ = L₀ + Ы = mcgv = (М' [vr]> (1)

(момент центрального тела обозначаем здесь посредством М' в отличие от момента частицы М). Отсюда функция Га.\;лльтона (ср. I (40,7))

Я? = 2®₀ + №, ЬШ -j~ (М' [гр]).

Вычисляя производную М = [ гр] + [гр] с помощью уравнений Гамиль­тона г дЖ/др, р = — дЖ/дт, получим:

М-^НМ'М]. (2)

Интересуясь вековым ходом изменения М, мы должны усреднить это вы­ражение по периоду Т обращения частицы. Усреднение удобно произвести

с помощью параметрического представления зависимости г от времени яри движении по эллиптической орбите в виде

Т

r = a(\— ecosg), *=2^ (g —е sin f) (а и е — большая полуось и эксцентриситет эллипса; см. I § 15) i

Г 2я

г"³

_ 1 f rf< ₌ 1 С d% 1

^т ) г» ' 2яа³ J (1 - е cos i)² а⁸ (1 — е²)^3/2 '

о о

(3)

Таким образом, вековое изменение М дается формулой

dfA ₌ 2k (М'М]

dt ~ с²а³ (1 - e*f² '

т. е. вектор М вращается вокруг оси вращения центрального тела, оставаясь неизменным по величине.

Аналогичное вычисление для вектора А дает:

А = IM'Al + _*jLj. (ММ') [гМ].

Усреднение этого выражения производится аналогично тому, как это было сделано выше; при этом из соображений симметрии заранее очевидно, что усредненный вектор г/г⁵ направлен вдоль большой полуоси эллипса, т. е. вдоль направления вектора А. Вычисление приводит к следующему выра­жению для векового изменения вектора А:

d\ IkM'

— = [ПА], fi= — —- {n' - Зп (шГ)} (4)

dt c²a^s (1 - e³)³'² '

(n, n' — единичные векторы в направлении М и М'), т. е. вектор А вра­щается с углов ~ л скоростью Q, оставаясь неизменным по величине; послед­нее обстоятельство означает, что эксцентриситет орбиты не испытывает ве­кового изменения.

Формулу (3) можно написать в виде

rfM .„... = [ОМ]

с тем же Q, что ив (4); другими словами, Q есть угловая скорость вра­щения эллипса «как целого». Это вращение включает в себя как допол­нительное (по отношению к рассмотренному в § 101) смещение перигелия орбиты, так и вековое вращение ее плоскости вокруг направления оси тела (последний эффект отсутствует, если плоскость орбиты совпадает с эква­ториальной плоскостью центрального тела).

Для сравнения укажем, что рассмотренному в § 101 эффекту соответ­ствует

„ 6nkm'

^U~ А (1-е*) Г