1. Произвести разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби для частицы, движущейся в поле Керра (в. Carter, 1968). Решение. В уравнении Гамильтона — Якоби

>ь dS dS

дх¹ дх*

(т — масса частицы, не смешивать с массой цетрального тела!) с g'^k из (104,6) время I и угол <р — циклические переменные; поэтому они входя г в действие S в виде — &_Bt + £ф, где cf_с — сохраняющаяся энергия, а по­средством L обозначена компонента момента частицы вдоль оси симметрии поля. Оказывается, что и переменные виг могут быть разделены. Пред­ставив S в виде

S = _ g₀t + L<$ + S_r (г) + S_e (в), (1)

сведем уравнение Гамильтона — Якоби к двум обыкновенным дифферен­циальным уравнениям (ср. I § 48):

(^)² + (-»• ^{Sin 6} - -stnir)² + ^ ⁶ " *' ₍₂₎

^rfSr^² -^W² + a*)g₀-aLf + mh*=-K,

где К (параметр разделения) — новая произвольная постоянная. Функции Sq и s_r определяются отсюда простыми квадратурами. 4-импульс частицы:

Вычисляя правую сторону этого равенства с помощью (1) и (2), получим следующие уравнения:

dt г га S_n / г „га² \

^m-5J = --pV^Z- ⁺ -^V^{2 + a2 +} -|^J-^sinae)» ⁽³⁾

dq> L ( rr\ г ra

т~= . . ( 1--4-) + -4л-Уо, (4)

ds A sin² 8 V Р / Р А

^т* ⁼ "р^ ^{[(f2 + а2)} ^о-аЦ²~у(К + т*г>), (5)

^{т2 (1 )2 = -?Г(/С ~ ^ COs2 6) - jr («*. - 6 - ^)2. (6)}

Эти равенства — первые интегралы уравнений движения (уравнений гео­дезических линий). Уравнение траектории и зависимость координат от вре­мени вдоль траекторий могут быть найдены либо из (3)—(6), либо прямо из уравнений

dS/d&o = const, dS/dL = const, д$/дК = const.

Для световых лучей в правых сторонах уравнений (3)—-(6) надо по­ложить т = 0 и писать w₀ вместо So (ср. § 101), а в левых сторонах вместо производных md/ds надо писать производные djdX по параметру X, меняющемуся вдоль лучей (ср. § 87).

Уравнения (4)—(6) допускают чисто радиальное движение лишь вдоль оси вращения тела, как это ясно уже из соображений симметрии. Из тех же соображений ясно, что движение в одной «плоскости» возможно, лишь если эта плоскость экваториальная. В последнем случае, положив 8 = я/2 и выразив К через ёъ и L из условия d6/ds = 0, получим уравнения дви­жения в виде

dt r_aa S, ( г.а\

^m-ds-=-±^{L +} ntV² + ^{a2 + J}T-)> <⁷>

d(f М f r_a\ г „а

^{m? =} "F^{1(л2 + а2)} ^° ~ ^aL]2 ~ 7*^1(а<г° ~^{1)2 + <9)}

2. Определить радиус ближайшей к центру устойчивой круговой орбиты частицы, движущейся в экваториальной плоскости предельного (а ->- r_gj2) поля Керра (R. Ruffini, J. A. Wheeler, 1969).

Решение. Поступая аналогично решению задачи 1 § 102, вводим «эффективную потенциальную энергию» U{r), определенную согласно

\{г² + a²) U (г) - aLf - A [(aU (г) - L)² + г²т²] = 0

(при So—U правая сторона уравнения (9) обращается в нуль). Радиусы устойчивых орбит определяются минимумами функции U(r), т. е. сов­местным решением уравнений U(r)=So, U'(r)=0 при £/"(г)>0. Ближай­шей к центру орбите отвечает равенство t7"(r_mi_n)= 0; при r< r_min функция U (г) не имеет минимумов. В результате получаются следующие значения параметров движения:

а) При L < 0, т. е. при движении частицы в направлении, обратном направлению вращения коллапсара:

r_min _ 9 So _ 5 L ^ 11

г с 2' т 3 V3 ' тг„ 3 -\/3'

б) При L > 0 (движение в направлении вращения коллапсара) при а -*■ г_е/2 радиус r_min стремится к радиусу горизонта. Положив <* — ~2 0 + получим при 6-»-0:

-^ = 1(1 + V26), ^ - j [1 + (46)"³].

При этом

Обратим внимание на то, что все время остается г_тт/г_ГОр > 1, т. е. орбита проходит вне горизонта. Так и должно было быть: горизонт представляет собой нулевую гиперповерхность, в которой не могут лежать времениподоб-ные мировые линии движущихся частиц.