§ 101. Движение в центрально-симметричном гравитационном поле

Рассмотрим движение частицы в центрально-симметричном гравитационном поле. Как и во всяком центральном поле, дви­жение будет происходить в одной «плоскости», проходящей через центр поля; выберем эту плоскость в качестве плоскости 0 = = п/2.

Для определения траектории частицы воспользуемся уравне­нием Гамильтона — Якоби

где т — масса частицы (массу же центрального тела обозначим здесь как т'). С метрическим тензором из (100,14) это уравне­ние принимает вид

(101,1)

где г_в = 2m'k/c² — гравитационный радиус центрального тела.

По общим правилам решения уравнения Гамильтона — Якоби ищем S в виде

S=_ay + Af«P + S_r(r) (101,2)

с постоянными энергией Ш§ и моментом импульса М. Подставив (101,2) в (101,1), найдем производную dS_r/dr и затем:

*-$[40-^Г-(^+^)0-»"Т*- <«>•■*

Зависимость г = r(t) дается, как известно (см. I § 47), урав­нением dS/d&o = const, откуда

_{"""^Ч-^Ш-О^Х-^Г'}^(10М>

Траектория же определяется уравнением dS/дМ = const, откуда , ₌ ^[^_(_{mV +} ^)(_I_i)]-V (,01.5)

Этот интеграл приводится к эллиптическому.

Для движения планет в поле тяготения Солнца релятивист­ская теория приводит лишь к незначительным поправкам по сравнению с теорией Ньютона, поскольку скорости планет очень малы по сравнению со скоростью света. В уравнении траектории

(101,5) этому соответствует малость отношения г_е/г, где r_g —-гравитационный радиус Солнца¹).

Для вычисления релятивистских поправок к траектории удобно исходить из выражения (101,3) радиальной части дейст­вия до его дифференцирования по М. Заменим переменную ин­тегрирования согласно г (г— r_g) = r'², т. е. г— r_g/2 « г', в ре­зультате чего член с М² под корнем пршет видМ²//-'². В осталь­ных же членах производим разложение по степеням r_g/r' и по­лучаем с требуемой точностью:

*-J[(w-+^)+

1 1 / Зт²с²г² \Т^и + ₇(2m²m'k + 4g'_mr_e)-₇i\_<M² ^JJ dr, (101,6)

где мы для краткости опустили штрих у г' и ввели нерелятивист­скую энергию ё" (без энергии покоя).

Поправочные члены в коэффициентах в первых двух членах под корнем отражаются только на не представляющем особого интереса изменении связи между энергией и моментом частицы и параметрами ее ньютоновской орбиты (эллипса). Изменение же коэффициента при 1/г² приводит к более существенному эф­фекту— к систематическому (вековому) смещению перигелия орбиты.

Поскольку траектория определяется уравнением ср +

= const, то изменение угла ср за время одного оборота планеты по орбите есть

где ASr — соответствующее изменение S_r- Разлагая S_r по степе­ням малой поправки в коэффициент при 1/г², получим:

AS -AS<o> *****

где AS⁽_f⁰⁾ соответствует движению по несмещающемуся замкну­тому эллипсу. Дифференцируя это соотношение по М и учиты­вая, что

дМ найдем:

3nm²c²r² bnk²m²m²

Аср = 2я+ _Шг^е=2п+ _сШг .

Второй член и представляет собой искомое угловое перемещение бф ньютоновского эллипса за время одного оборота, т. е. смеще-

') Для Солнца r_g = 3 км; для Земли г_е = 0,9 см.

ние перигелия орбиты. Выражая его через длину большой полу­оси а и эксцентриситет эллипса е с помощью известной формулы M²/km'm² = а( 1 — е²), получим'):

<¹⁰¹>7>

Далее рассмотрим путь светового луча в центрально-симме­тричном гравитационном поле. Этот путь определяется уравне­нием эйконала (87,9)

ik дф 6Нр _q ^g дх¹ dx^k

отличающимся от уравнения Гамильтона — Якоби только тем, что в последнем надо положить т = 0. Поэтому траекторию луча можно получить непосредственно из формулы (101,5), по­ложив в ней т = 0; при этом вместо энергии частицы <£о = = —dS/dt надо писать частоту света <оо = —d-ty/dt. Введя так­же вместо постоянной М постоянную р согласно р = сМ/юо, по­лучим:

^{Н Jl r.y <101'8>}

При пренебрежении релятивистскими поправками (г₈-*-0) это уравнение дает г = p/cos ф, т. е. прямую, проходящую на рас­стоянии р от начала координат. Для исследования же реляти­вистских поправок поступим аналогично тому, как было сделано в предыдущем случае.

Для радиальной части эйконала имеем (ср. (101,3)):

ф_г(г)= [ л/т-^ T^^dr.

^YrW с J V (г — r_gY r(r — r_g)

Производя такие же преобразования, которые служили для пе­рехода от (101,3) к (101,6), получим:

Разлагая теперь подынтегральное выражение по степеням г_е/г, имеем:

. ,(0) | ^гв^ао Г dr ₍₀₎ r_ge>₀ т

■ф_г = лр^'Н \ ,-₂ Н Arch — ,

с J V ^— Р с Р

где tp⁽_r⁰⁾ отвечает классическому прямолинейному лучу.

Полное изменение гр_г при распространении луча от некото­рого очень большого расстояния R до ближайшей к центру

') Численные значения смещения, определяемого формулой (101,7), для Меркурия и Земли равны соответственно 43,0" и 3,8" в сто лет.

точки г = р и затем снова на расстояние R есть Д₁р_г = д_1р(°^, + 2^АгсЬу.

Соответствующее же изменение полярного угла ср вдоль луча получается дифференцированием по М = рщ/с:

^ дА$,_г аы!® 2r_sR

^Ф==ЗС дМ ~ дМ р V#^s - Р* ' Наконец, переходя к пределу /?-»-оо и замечая, что прямоли­нейному лучу соответствует Дер = я, получим:

I Дф = п + ——.

Это значит, что под влиянием поля тяготения световой луч искривляется: его траектория представляет собой кривую, обра­щенную вогнутостью к центру (луч «притягивается» к центру), так что угол между ее двумя асимптотами отличается от л на

TF^{5 (101,9)}

другими словами, луч света, проходящий на расстоянии р от центра поля, отклоняется на угол бф¹).