4. Преобразовать интервал (100,14) к координатам, в которых про­странственная метрика имела бы конформно-эвклидов вид (т. Е. Dl2 про­порционально своему евклидову выражению).

Решение. Полагая

\2

получим из (100,14):

ds² =

1 —

'g 4р

'■dt²-

(dp² + р² dQ² + р² sin² 6 dtp²).

1 +

4р ^J

Координаты р, 6, ф называют изотропными сферическими координатами; вместо них можно ввести также и изотропные декартовы координаты х, у, г.

В частности, на больших расстояниях (р > r_g) имеем приближенно: ds² = (l - с² dt² + (dx* + dy² + dz¹).

5. Получить уравнения центрально-симметричного гравитационного поля в веществе в сопутствующей системе отсчета.

Решение. Двумя возможными преобразованиями координат г, t в элементе интервала (100,1) воспользуемся для того, чтобы, во-первых, об­ратить в нуль коэффициент a(r,t) при dr dl и, во-вторых, обратить в каждой точке в нуль радиальную скорость вещества (остальные компоненты ско­рости вообще отсутствуют в силу центральной симметрии). После этого ко­ординаты г я t могут еще быть подвергнуты произвольному преобразованию вида г = r(r'), t = t(t').

Обозначим выбранные таким образом радиальную координату и время посредством R и т, а коэффициенты h, k, I — соответственно — е\ — е¹*, e^v (X, p., v — функции R и т). Тогда для элемента интервала имеем:

ds² = с² e^v dx² - е^х dR² - е* (dQ² + sin² 6 dof). (1)

Компоненты тензора энергии-импульса равны в сопутствующей системе отсчета:

Г°-в, r{ = 7t = 7t₌__p. Вычисление приводит к следующим уравнениям поля¹):

-_e-^v(A-i,iv + 4^)-_e^, (2) —IT" Т'₂ - ^г- P - | «Г* (2v" + v'² + 2ц" + p.'² - p'V - v'X' + „V) + + ~e-^v(Xv + Av - A|i - 2Я - A,² - 2ц - |i²), (3)

Sttfe p_ вл-fe ^ 3 _a цТ\ — ^Y0~ — 8 e ^ц + -ju, ⁺

₊ l_e-v^_{A +} ^.)+e^. (4)

^.rj = 0—i-.-^(2/i' + Wi'-i|i'-Vi») (5)

(штрих означает дифференцирование no R, а точка — по сх).

Некоторые общие соотношения для X, ц, v могут быть легко найдены, если исходить из содержащихся в уравнениях поля уравнений Tf. _fe = 0. Воспользовавшись формулой (86,11), получим следующие два уравнения

') Компоненты Rut можно вычислять непосредственно как это делалось в тексте, или же по формулам, полученным в задаче 2 § 92.

Если р известно как функция е, то уравнения (6) интегрируются в виде

* + *—iJ-^ + M*). ^v=-²$7+T ^{+ f}'^{(T)> (7)}

где функции fi(R) и ft(т) могут быть выбраны произвольным образом ввиду указанной выше возможности произвольных преобразований вида Л = К(«'), т = т(т').

6, Найти уравнения, определяющие статическое гравитационное поле в пустоте вокруг неподвижного аксиально-симметричного тела (-#. Weyl, 1917),

Решение. Статический элемент интервала в Цилиндрических простран­ственных координатах х¹ = ф, х² = р, х³ = z ищем в виде

ds² = e^vc²dt² - e^ad<t² - (dp² + dz²),

где v, ш, ji — функции риг; такое представление фиксирует выбор коор­динат с точностью до преобразования р = р(р', г"), г = г(р', г'), умножаю­щего квадратичную форму dp² -f- dz² лишь на общий множитель, Из уравнении

^{«О - Т «"й [2*. р, р + V,} _р ^(v _р ^{+ »} _р^{) + 2v} _г>^{, + v} _z ^(v _г ^{+ ш} ₂^{)] = О,}

*1 ™ Т ^е~* f^2fi>. р. р + ^и. р (^v. р + ^и. р) + ^2<й. г, z + ». г (^v. г + °>. г)] = ⁰

(где индексы , р и , z означают дифференцирование по р и г), взяв их сумму, находим:

Р',р,р + Р',г,2 = 0.

где обозначено

v+u1

p'(p,z) = e ² •

Таким образом, р'{р, г) — гармоническая функция переменных р, г. Со­гласно известным свойствам таких функций это значит, что существует сопряженная гармоническая функция г'(р, г) такая, что р' -f- iz' = f(p + iz), где f — аналитическая функция комплексной переменной р -f- iz. Если теперь выбрать р', г' в качестве новых координат, то в силу конформности преобра­зования р, г-»-р', г' будет

e»(dp² + dz²) = e»'(dp'² + dz'²),

где р/(Р'>г')—некоторая новая функция. В то же время е^и = p'²e~^v; обо­значив ш + v = у и опустив далее все штрихи, напишем ds¹ в виде

ds² = eV dt² - p²e~^v Ар² - е*-" (dp² + dz²). (1)

Составив для этой метрики уравнения #q = 0, Rl~ R\ — 0, /?| = 0, найдем:

1 д ( д\\ , d²v . ...

JHp-^lp-)⁺ 3F ^{= 0}' ⁽²⁾

_{ду dv dv ду _ р \( dv \}² _{/J^Vl ^}

"di"~^p dp <3z' 'ф'^-"2~|Л<Эр J \dz)\' ^w

Отметим, что (2) имеет вид уравнения Лапласа в цилиндрических коорди­натах (для функции, не зависящей от ф). Если это уравнение решено, то функция у(р, г) целиком определяется уравнениями (2—3), Вдали от создаю­щего поле тела функции у и у должны стремиться к нулю,