1. Найти инварианты тензора кривизны для метрики Шварцшильда (100,14).

Решение. Вычисление по (92,1) с из (100,3) (или по формулам, полученным в задаче 2 § 92) приводит к следующим значениям отличных от нуля компонент тензора кривизны:

n _ ^re, d - ^озоз . ^rg(^r~^rg) Row -~рг> Яо^-ЦпТё^- 2Т* '

г> -м313 g _п . , д

#1212 = ,,._iq = oi. .4 #2323 = — гг_е sin² 0.

#1313

sin² 9 2 (г - r_g)' Для инвариантов h и /₂ (92,20) находим

(произведения с участием дуального тензора R_iki_m равны нулю тожде­ственно). Тензор кривизны относится к типу D по Петрову (с веществен­ными инвариантами Я^(1> = Х⁽²> = —r_g/2r³). Отметим, что инварианты кри­визны имеют особенность лишь в точке г = 0, но не при г = r_g.

2. Для той же метрики определить пространственную кривизну, Решение. Компоненты пространственного тензора кривизны Рарув могут быть выражены через компоненты тензора Р_ав (и тензор Уа«Л так что достаточно вычислить только Р_ар (см. задачу 1 § 92). Тензор Р_а$ выражается через Yap так же, как Rik выражается через gik. Со значениями Yap из (100,15) получим после вычисления:

рв _ рч> _ ^гв рг _ _ [g_ * в *ф 2г³ ' ^г г³

н^ = 0прио^р. Отметим, что Р|, Р* > 0, Р^г_г < 0, а Р = Р£ = 0. По формуле, полученной в задаче 1 § 92, найдем:

Prm - (^pr + *!) Y„Y₉₉ = - ^YrrY₉₈.

Р лрлр ^{= —} Р&УггУщ> Р вфвф ^{= —} Р^Г_Г\

Отсюда следует (см. примечание на стр. 341), что для «плоскостей», пер­пендикулярных к радиусам, гауссова кривизна

К--

*й2_ = _ я; > о

(это значит, что для небольших треугольников, проведенных на участке «плоскости» вблизи ее пересечения с перпендикулярным к ней радиусом, сумма углов больше чем я). Для «плоскостей» же, проходящих через центр, гауссова кривизна К < 0; это значит, что сумма углов, проведенных в «пло­скости» небольших треугольников, меньше чем я (подчеркнем, однако, что последнее свойство не относится к треугольникам, охватывающим центр, — сумма углов в таком треугольнике больше чем я).

3. Определить форму поверхности вращения, на которой геометрия была бы такой же, как на проходящей через начало координат «плоскости» в центрально-симметричном гравитационном поле в пустоте.

Решение. Геометрия на поверхности вращения г = z(r) (в цилиндри­ческих координатах) определяется элементом длины

dl² = dr² + dz² + г² dy² = dr² (l + г'²) + r² dip².

Сравнивая с элементом длины (100,15) в «плоскости» 0 = я/2

dr²

dl² = r²dof + -

находим:

откуда

1-^-г

-1

l+₂'² = (l-^-) , г = 2Уг_г(г — r_g).

При г = r_g эта функция имеет особенность — точку разветвления. Это

обстоятельство связано с тем, что пространственная метрика (100,15) в про­тивоположность пространственно-временной метрике (100,14) действительно имеет особенность при г = r_g.

Указанные в предыдущей задаче общие свойства геометрии на проходя­щих через центр «плоскостях» можно найти также и путем рассмотрения кривизны полученной здесь наглядной модели.