§ 98. Тетрадное представление уравнений Эйнштейна

Определение компонент тензора Риччи (и тем самым состав­ление уравнений Эйнштейна) для метрики того или иного спе­циального вида связано, вообще говоря, с довольно громоздкими вычислениями. Поэтому приобретают значение различные фор­мулы, позволяющие ,в некоторых случаях упростить эти вычис­ления и представить результат в более обозримом виде. К числу

таких формул относится выражение тензора кривизны в так на­зываемом тетрадном виде.

Введем совокупность четырех линейно-независимых реперных ■4-векторов е{а) (нумеруемых индексом а) , подчиненных лишь требованию

е<а)е<й)* = г)_а6, (98,1)

где г\аь — заданная постоянная симметричная матрица с сигна- турой Н ; матрицу, обратную матрице г\_аь, обозначим посред- ством ^(rf^ob — bb)¹). Наряду с четверкой (тетрадой) векто- ров е\_а), введем также четверку взаимных с ними векторов е<^а)' (нумеруемых верхними реперными индексами), определенных условиями

efV^ = 6?, (98,2)

т. е. каждый из векторов е\^а) ортогонален трем векторам е'ы с Ъфа. Умножив равенство (98,2) на е\_а), получим (е(_аА^а)) е\ь)= = е\ь), откуда видно, что наряду с (98,2) автоматически выпол­няются также и равенства

е^еЪ) = Ь^к. (98,3)

Умножив равенство е\_а^(_С)i = Цас с обеих сторон на г\^Ьс, получим:

i I be \ ей

^е(а)1л e_{C)i) = 8_a;

сравнив с (98,2), находим, что

е?⁾ = Ц^се_{С) i, е_{ф) t} = r\_bJP. (98,4)

Таким образом, поднимание и опускание реперных индексов осуществляется матрицами г\^Ьс и г\_Ьс-

Значение введенных таким образом реперных векторов со­стоит в том, что через них может быть выражен метрический тензор. Действительно, согласно определению связи между ко-и контравариантными компонентами 4-вектора имеем ef⁾ = = gne^{a)'; умножив это равенство на е_{(я) k} и использовав (98,3),

') В этом параграфе первыми буквами латинского алфавита а, Ь, с, ... будут обозначаться индексы, нумерующие реперные векторы; 4-тензорные индексы обозначаются по-прежнему буквами »", k, I, ... В литературе репер­ные индексы принято обозначать буквами (или цифрами) в скобках. Во избежание чрезмерного утяжеления записи формул мы будем, однако, пи­сать скобки лишь там, где реперные индексы фигурируют вместе (или на­равне) с 4-тензорными, и будем опускать их в обозначении величин, которые по своему определению имеют лишь реперные индексы (например, х\_аь и ниже у_аьс, Хаьс). По дважды повторяющимся реперным (как и тензорным) индексам везде подразумевается суммирование.

в 198,4), найдем:

gik = *(«> ief = TjateW. (98,5)

Квадрат элемента интервала с метрическим тензором (98,5)' принимает вид

ds² = г\_аЬ (efW) (e[^b)dx^k). (93,6)

Что касается произвольно задаваемой матрицы г\_аь, то наи­более естественный ее выбор — в «галилеевой» форме (т. е. диа­гональная матрица с элементами 1, —1, —1, —1); при этом реперные векторы, согласно (98,1), взаимно ортогональны, при­чем один из них времениподобен, а три других — пространствен-воподобны¹). Подчеркнем, однако, что такой выбор отнюдь не обязателен и возможны ситуации, когда по тем или иным при­чинам (например, по свойствам симметрии метрики) целесооб­разен выбор неортогональной тетрады²).

Тетрадные компоненты 4-вектора А' (и аналогично для 4-тен-зоров любого ранга) определяются как его «проекции» на ре­перные 4-векторы:

A_{a) = e{_a)A_t, А™*=е^{?>А¹ = 1?Ам (98,7)

Обратно:

А1 = е^А_{а), А¹ = е{_а)А^{а). (98,8)

Таким же образом определим операцию дифференцирования «вдоль направления а»:

Введем нужные для дальнейшего величины³)

Уась = е_(а) ыецАо (98,9)

»• их линейные комбинации

^•abe ⁼ УаЬс УасЬ ⁼⁼

*) Целесообразный выбор тетрады может диктоваться уже предвари­тельным приведением ds* к виду (98,6). Так, выражению ds² в виде (88,13) отвечают реперные векторы

«y»-(VA. -л/hg), 4*> = (0, е<*>),

причем выбор е'⁰» зависит от пространственной формы dP.

⁸) Величины уаьс называют коэффициентами вращения Риччи,

^{= (S(a)t;k — eia)k; i) вфув^с) — (в(аН, k — в(}_а^{)к, l) 0<6)в(е). (98,10)}

Последнее равенство в (98,10) следует из (86,12); отметим, что величины %аьс вычисляются простым дифференцированием ре-перных векторов.

Обратное выражение у_аьс через %_аьс'.

УаЬс = 4" &аЪс + Кса ~ Kab)- (98,11)

Эти величины обладают свойствами симметрии:

УаЬс УЬао

^abc ^acb'

(98,12)

Наша цель состоит в определении тетрадных компонент тензора кривизны. Для этого надо исходить из определения (91,6), примененного к ковариантным производным реперных векторов:

£(а) <; ft; I — £(a) i\ I; k = e(a)Rmikl

ИЛИ

R(a) (b)(c) (d) — (6(a) i; ft; / — £(a) I; t; ft) £(*)£«:)£(<*).

Это выражение легко выразить через величины у„ъс- Пишем

(6) (с)

в(а) i; ft = УаЬсв1 fife ,

а после следующего ковариантного дифференцирования произ­водные от реперных векторов снова выражаются таким же об­разом; при этом ковариантная производная от скалярной вели­чины уаьс совпадает с ее простой производной¹). В результате получается:

/?(a)(6)(c)(d) = Га c,d — Vabd, с + Yafrf (y'cd ~ Y^fdc) + YafcY^fbd — ЧаЫ^Ъс,

(98,13)

где в соответствии с общим правилом у^аьс = ц^ааУйЬс и т. п.

') Приведем для справок преобразованные аналогичным образом вы­ражения для ковариантных производных произвольных 4-векторов и 4-тен­зоров:

^Al; Аа/ф) = ^А(а). W + ^А™Ул>Ь> ^Aik; l^elaf{bf(c) ~ ^А{а),(Ь), (с) + ^(bfldac + ^A{a)^d)4dbc>

Упрощение этого тензора по паре индексов а, с дает искомые тетрадные компоненты тензора Риччи; приведем их выраженными

уже через величины Я₀(._£:

R{a)(b) ~~~2 {^аЬ, с + ^Ьа , с + ^са, Ь + ^°cb, а +

+ ^^CdbKda + ^b^dca — y ^"b^aed H~ № afaab + ^«Аба"*) • (98,14)

Наконец, обратим внимание на то, что изложенные построе­ния по существу никак не связаны с четырехмерностью метри­ки. Поэтому полученные результаты могут быть применены и к вычислению трехмерных тензоров Римана и Риччи по трехмер­ной метрике. При этом, естественно, вместо тетрады реперных 4-векторов мы будем иметь дело с триадой трехмерных векторов, а матрица ц_аь должна иметь сигнатуру +++ (мы встретимся с таким применением в § 116).