1. Найти вид разложения решения уравнений гравитационного поля в пустоте вблизи не особой, регулярной точки по времени.

Решение. Выбрав условно рассматриваемую временную точку в ка­честве начала отсчета времени, будем искать у_ар в виде

Yap = a_ap + tb₄ + t*c_afi + (1)

где a_ap, 6_ag, c_ap — функции пространственных координат. В том же при­ближении обратный тензор:

_Y«P = _а«Р - tb^a* + С- {Ъ^а%\ -

где а^а& — тензор, обратный a_ap, а поднятие индексов у остальных тензоров производится с помощью а^а&. Далее имеем:

*ap = &ap + 2*_Cap, к£ = 6„ + г(24-6_а/*).

Уравнения Эйнштейна (97,11—13) приводят к следующим соотношениям!

*8 = -с + 1фЛ = 0, (2)

*£«т(*2;3-*;«) + *[- «;a + |W);« + ^ca;3 + T⁶^p-

-т(*оЧ);р] = °. (»)

^_а=-Р_а-т^ь»^ь + Т^ьУу-^ (4)

(ft = 6™, с = с"). Здесь операции ковариантного дифференцирования про­изводятся в трехмерном пространстве с метрикой a_api по этой же метрике определяется тензор Р_а^.

Из (4) коэффициенты с_ар полностью определяются по коэффициентам а_ац и 6_ар. После этого (2) дает соотношение

Из членов нулевого порядка в (3) имеем:

*S:U = *sa- (6)

Члены же ~t в этом уравнении при использовании (2; 4—6) ^и тождества

^a; р = у ^р; а! ср. (92,10)^ обращаются в нуль тождественно.

Таким образом, 12 величин а_ар> Ь_а$ связаны друг с другом одним соотношением (5) и тремя соотношениями (6), так что остается восемь произвольных функций трех пространственных координат. Из них три свя­заны с возможностью произвольных преобразований трех пространственных координат и одна — с произволом в выборе исходной гиперповерхности при построении синхронной системы отсчета. Остается, как и следовало (см. ко­нец § 95), четыре «физически различные» произвольные функции.

2. Вычислить компоненты тензора кривизны Ri_hi_m в синхронной си- стеме отсчета.

Решение. При помощи символа Кристоффеля (97,9) получим по формуле (92,1):

Яаруб = — ■Раруб + («об^ру ^{— и}ауКрб).

^ОаРу ⁼ ~2 (^Иау. Р ~~ ^хаР;у) •

р - ^{1 д 1} у

^Оаор ~ 2 dt ^х"р 4 ^хоу^ир*

где Рорув ~ трехмерный тензор кривизны, соответствующий трехмерной пространственной метрике Yap-

3. Найти общий вид бесконечно малого преобразования, не нарушающего синхронности системы отсчета.

Решение. Преобразование имеет вид

t + t + 4(x\x².x*), x^a->x^a + l^a(x\x²,x³, t),

где <р, £™ — малые величины. Соблюдение условия g_Bo = 1 обеспечивается независимостью <р от t, а для соблюдения условия goa — ^ должны вы­полняться уравнения

df _ до? ^Уа*~д1 IF'

откуда

l^a = j^-^y^aUt + f^a(x\x\x³), (1)

где /^а — снова малые величины (образующие трехмерный вектор f). При этом пространственный метрический тензор» Yap заменяется согласно

Yae-*Yap-ia;p-?P;a-⁽P'^taP (²)

(в чем легко убедиться с помощью формулы (94,3)).

Преобразование содержит, как и следовало, четыре произвольные (ма­лые) функции пространственных координат <р, f^a.