4. Диференціальні рівняння плоскопаралельного руху твердого тіла

П

Рис.2

оложення тіла, яке здійснює плоскопаралельний рух, визначається в будь-який момент часу положенням полюса і кутом повороту навколо нього. Задачі динаміки розв’язуються найпростіше, якщо за полюс обрати центр мас С тіла (рис.2) і визначити положення тіла координатами x_c, y_c і кутом φ.

Нехай на тіло діють зовнішні сили , ,..., . Тоді рівняння руху точки С знайдемо із теореми про рух центра мас:

а обертальний рух навколо центра С визначається рівністю:

.

У проекціях на координатні осі дістанемо рівняння:

або

Ці рівняння є диференціальними рівняннями плоско-паралельного руху твердого тіла.

За їх допомогою можна за заданими силами визначити закон руху тіла або, знаючи закон руху тіла, знайти головний вектор і головний момент сил.

У випадку невільного руху, коли траєкторія центра мас відома, рівняння руху точки С зручніше скласти в проекціях на дотичну τ і головну нормаль n до траєкторії.

Тоді дістанемо:

де ρ – радіус кривизни траєкторії центра мас.

Якщо рух невільний, то в праві частини рівняння увійдуть ще і реакції в'язі.

Питання для самоконтролю

1. Записати диференціальні рівняння руху системи.

2. Сформулювати та довести теорему про рух центра мас системи.

3. Записати диференціальні рівняння руху центра мас системи.

4. Викласти закон збереження руху центра мас.

5. Вивести диференціальне рівняння обертального руху твердого тіла.

6. Записати диференціальні рівняння плоскопаралельного руху тіла в координатній і натуральній формах.

Лекція №33 Тема: “Загальні принципи механіки” План

1. Принцип Даламбера. Головний вектор і головний момент сил інерції.

2. Принцип можливих переміщень.

3. Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера-Лагранжа).

1. Принцип Даламбера. Головний вектор і головний момент сил інерції

До цього для розв’язання задач динаміки ми користувались диференціальними рівняннями, які виходили із основного закону динаміки. Це не єдиний шлях. Можна в основу розв’язків покласти загальні положення, які називаються принципами механіки.

Розпочнемо з принципу Даламбера.

Нехай на точку масою m діє система активних сил, рівнодійну яких ми позначимо через , і реакція в'язі (якщо точка невільна). Під дією цих сил точка буде рухатись по відношенню до інерціальної системи відліку з деяким прискоренням .

Введемо величину , яка має розмірність сили. Векторну величину, яка дорівнює за модулем добутку маси точки на її прискорення і напрямлена в бік, протилежний цьому прискоренню, називають силою інерції точки.

Тоді рух точки має таку властивість: якщо в будь-який момент часу до активних сил і реакцій в'язі, які діють на точку, приєднати силу інерції, то здобута система буде зрівноваженою, тобто:

Це положення і виражає принцип Даламбера для матеріальної точки.

Це твердження еквівалентне другому закону Ньютона для цієї точки:

.

Розглянемо механічну систему, яка складається із n точок. Нехай точка масою m_k під дією прикладених до неї зовнішніх і внутрішніх сил і (в які входять і активні сили, і реакції в’язей) рухається по відношенню до інерціальної системи з прискоренням . Позначивши силу інерції , дістанемо:

тобто , і утворюють зрівноважену систему сил.

Аналогічні результати будуть для всіх точок системи. Отже, принцип Даламбера для системи: якщо в будь-який момент часу до кожної із точок системи, крім зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на неї, приєднати відповідні сили інерції, то здобута система буде зрівноваженою і до неї можна застосовувати всі рівняння статики.

Із принципу Даламбера можна дістати всі загальні теореми динаміки.

Із статики відомо, що для системи, яка перебуває у рівновазі, геометрична сума всіх сил і сума їх моментів відносно будь-якого центра дорівнюють нулю. Тоді на основі принципу Даламбера:

Введемо позначення:

Величини і – це головний вектор і головний момент відносно центра O системи сил інерції. Тоді, враховуючи, що геометрична сума внутрішніх сил і сума їх моментів дорівнює нулю, дістанемо:

, (1)

. (2)

Використання цих рівнянь спрощує розв’язок задач динаміки.

Порівнюючи рівняння (1) з рівнянням (виражає теорему про рух центра мас), знайдемо, що:

тобто головний вектор сил інерції механічної системи (зокрема, твердого тіла) дорівнює добутку маси системи (тіла) на прискорення центра мас і напрямлений протилежно цьому прискоренню.

Якщо прискорення розкласти на дотичне і нормальне, то вектор розкладеться на складові:

Нормальну складову сили інерції називають відцентровою силою інерції.

Порівнюючи рівняння (2) з рівнянням (виражає теорему моментів), дістанемо:

і ,

тобто головний момент сил інерції механічної системи (твердого тіла) відносно деякого центра O або осі z дорівнює взятій зі знаком „–” похідній за часом від кінетичного моменту системи (тіла) відносно того ж центра або тієї ж осі.

У випадку плоскопаралельного руху система сил інерції тіла зводиться до рівнодійної , прикладеної в центрі мас, і пари з моментом (напрямок М^ін протилежний ε).