2. Зведення просторової системи сил до найпростішого вигляду

Ми вже говорили про те, що будь-яка система сил в загальному випадку зводиться до сили, що дорівнює головному вектору , прикладеному в довільному центрі О, і до пари з моментом, що дорівнює головному моменту (лекц. №6).

Визначимо, до якого найпростішого вигляду зводиться просторова система сил, яка не перебуває у рівновазі. Результат звичайно залежить від значень і .

1. Якщо для системи , a , то вона зводиться до пари сил з моментом, який дорівнює і обчислюється за формулами, наведеними вище.

2. Якщо для системи , , то вона зводиться до рівнодійної, яка дорівнює , лінія дії якої проходить через центр зведення О. Формули для обчислення наведені вище.

3

Рис.4

. Якщо для системи , , але , то система зводиться до рівнодійної, яка дорівнює , але не проходить через центр О.

Дійсно, якщо , то пара, що зображає її вектор , і сила лежать в одній площині (рис.4). Тоді обравши , дістанемо, що і зрівноважать одна одну, і система заміниться тільки силою , лінія дії якої проходить через точку O₁. Відстань OO₁=d визначається за формулою .

Цей випадок має місце, коли сили паралельні між собою або лежать в одній площині.

4

а) б)

Рис.5

. Якщо для системи сил , і при цьому вектор паралельний (рис.5,а), то це означає, що система сил зводиться до сукупності сили і пари , , що лежить у площині, перпендикулярній силі (рис.5,б).

Така сукупність сили і пари називається динамічним гвинтом, а пряма ОО', уздовж якої напрямлений вектор , віссю гвинта. До однієї сили або пари сил цю систему звести не можна.

5. Якщо для системи , , і при цьому вектори та не перпендикулярні і не паралельні один одному, то така система теж зводиться до динамічного гвинта, але вісь його буде проходити через центр С (рис.5,а).

3. Рівновага довільної просторової системи сил. Випадок паралельних сил

Необхідні й достатні умови рівноваги будь-якої системи сил виражаються рівностями , (див. лек. №6). Але вектори та дорівнюють нулю тільки тоді, коли і , тобто коли:

Таким чином, для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій всіх сил на кожну з трьох координатних осей і алгебраїчні суми їх моментів відносно цих осей дорівнювали нулю.

Якщо на тіло, крім сили, діє ще і пара сил, яка задається моментом , то вигляд перших трьох рівнянь не зміниться (сума проекцій сил пар на будь-яку вісь дорівнює нулю), останні три матимуть вигляд:

В

Рис.6

ипадок паралельних сил. Якщо всі сили, що діють на тіло, паралельні одна одній, можна обрати координатні осі таким чином, щоб вісь z була паралельна силам (рис.6). Тоді проекції кожної із сил на осі x та y і їх моменти відносно осі z будуть дорівнювати О, тому будемо мати тільки три умови:

Отже, для рівноваги просторової системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь, паралельну силам, і алгебраїчні суми їх моментів відносно двох інших координатних осей дорівнювали нулю.

4.Розв’язання задач. Послідовність розв’язання задач статики просторової системи сил така сама, як і у випадку плоскої системи сил. З’ясувавши, рівновага якого тіла розглядається, необхідно зобразити всі зовнішні сили (і задані, і реакції в’язей) і скласти умови рівноваги. Із здобутих рівнянь визначаються шукані величини.

Для спрощення системи рівнянь рекомендується осі координат проводити так, щоб вони перетинали якомога більше невідомих сил або були їм перпендикулярні.

Якщо із загального креслення важко визначити, чому дорівнює момент якоїсь сили відносно осі, то слід зобразити на додатковому кресленні проекцію тіла разом із силою на площину, перпендикуляру цій осі.

Якщо виникають труднощі у визначенні проекції сили на відповідну площину або плеча цієї проекції, рекомендується розкласти силу на дві взаємо перпендикулярні складові (одна із яких паралельна якій-небудь координатній осі), а потім скористатись теоремою Варіньйона.

З

Рис.7

адача. Прямокутна однорідна кришка вагою 120Н утримується мотузкою DЕ (рис.7), перпендикулярною площині кришки. CD= . Знайти реакції циліндричних шарнірів А та В і натяг мотузки.

Будемо розглядати рівновагу кришки. На неї діють сили: – вага, – реакція мотузки, реакція шарнірів – і . Останні розкладемо на складові так, що , .

Усього маємо шість сил, із них п’ять невідомі. Всі сили перпендикулярні осі Ах, тому проекції їх на вісь Ах будуть дорівнювати нулю. Залишається п’ять рівнянь – саме стільки, скільки необхідно для розв’язання задачі.

Складемо рівняння рівноваги:

Із третього рівняння:

Із четвертого:

Із п’ятого :

Із першого:

Із другого: