2. Рівновага тіла при наявності тертя

Вивчення рівноваги тіл з урахуванням тертя ковзання можна звести до розгляду граничної рівноваги.

При аналітичному розв’язанні задачі реакцію шорсткої в’язі зображають двома її складовими і _гр. Потім складають звичайні умови рівноваги, приєднуючи до них рівність F_гр=ƒ₀ N. Із такої системи рівнянь і визначають шукані величини. Якщо необхідно визначити силу F, коли рівновага не є граничною (F≠F_гр), то F треба вважати невідомою величиною і визначати із відповідних рівнянь конкретно в кожній задачі.

При геометричному способі розв’язання задачі реакцію шорсткої в’язі зручно зображати однією силою , яка в граничному положенні відхилена від нормалі на кут φ₀.

З

Рис.3

адача. Вантаж вагою 20Н лежить на горизонтальній площині (рис.3). Визначити, яку силу , напрямлену під кутом α=30⁰ до цієї площини, необхідно прикласти до вантажу, щоб зрушити його з місці. Статичний коефіцієнт тертя об площину ƒ₀=0,5.

1.Розглянемо граничну рівновагу вантажу.

2.Зобразимо всі сили, що діють на вантаж: , , , .

3.Складаємо умови рівноваги даної системи сил:

Із другого рівняння маємо:

.

Тому:

F_гр=ƒ₀N=ƒ₀(P–Qsinα).

Підставимо це значення в перше рівняння, дістанемо:

Qcosα–ƒ₀P+ƒ₀Qsinα=0.

Звідси:

.

Питання для самоконтролю

1. Що називається силою тертя?

2. Сформулювати закони тертя ковзання.

3. Як визначається реакція шорсткої в’язі?

4. Дати поняття куту тертя.

5. Як визначається рівновага тіла при наявності тертя?

Лекція №9

Тема: “Просторова система сил”

План

1.Момент сили відносно осі. Обчислення головного вектора і головного моменту просторової системи сил.

2.Зведення просторової системи сил до найпростішого вигляду.

3.Рівновага довільної просторової системи сил. Випадок паралельних сил.

4.Розв’язання задач.

1. Момент сили відносно осі. Обчислення головного вектора і головного моменту просторової системи сил

На попередніх лекціях ми ввели поняття моменту сили відносно центра і сказали, що вектор напрямлений перпендикулярно площині ОАВ (рис.1). Як це було і для сили, надалі нам необхідно буде розглядати проекції вектора на різні координатні осі.

Проекція вектора , тобто моменту сили відносно центра О, на яку-небудь вісь z, що проходить через цей центр, називається моментом сили відносно осі z, тобто

Рис.1

або ,

де – момент сили відносно осі z,

γ – кут між вектором і віссю z.

Із означення виходить, що , як проекція вектора на вісь, величина алгебраїчна. Знак визначається так само, як і знак проекції будь-якого вектора, у нашому випадку >0.

Знайдемо ще один вираз для визначення цієї величини. Для цього через довільну точку О₁ осі z (див. рис.1) проведемо площину (xy), перпендикулярну цій осі, й спроектуємо ∆ОАВ на цю площину. Оскільки вектор перпендикулярний площині ОАВ, а вісь z перпендикулярна ΔО₁А₁В₁, то кут γ, як кут між нормалями до цих площин, буде кутом між цими площинами. Тоді:

або .

Отже, момент сили відносно осі z дорівнює алгебраїчному моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну осі z, взятому відносно точки О₁ перетину осі з цією площиною.

Це є друге означення моменту сили відносно осі.

Момент сили відносно осі буде мати знак плюс, коли з додатного кінця осі поворот, що прагне здійснити сила , бачиться проти ходу годинникової стрілки, а знак мінус – за ходом годинникової стрілки.

П

Рис.2

ослідовність обчислення моменту сили відносно осі (рис.2):

1) необхідно провести площину (xy), перпендикулярну осі z;

2) спроектувати силу на цю площину і знайти величину F_xy;

3). опустити із точки перетину О осі з площиною перпендикуляр на лінію дії і знайти його довжину h;

4) обчислити добуток F_xy·h;

5) визначити знак моменту.

Поодинокі випадки:

1) якщо сила паралельна осі, то її момент відносно осі дорівнює нулю (оскільки F_xy=0);

2) якщо лінія дії сили перетинає вісь, то її момент відносно осі також дорівнює нулю ( оскільки h=0) ;

3) якщо сила перпендикулярна осі, то її момент відносно цієї осі дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля сили на відстань між лінією дії сили і віссю.

Поєднуючи пункти 1 і 2, відзначимо, що момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо сила і вісь лежать в одній площині.

Зазначимо, що теорема Варіньйона про момент рівнодійної справедлива і для моментів відносно будь-якої осі, тобто:

.

Рис.3

Аналітичні формули для моментів сили відносно координатних осей. Розкладемо силу , прикладену в точці А з координатами x, y, z, на складові , паралельні координатним осям (рис.3).

Оскільки паралельна осі х, а і їй перпендикулярні, то з урахуванням знаків будемо мати: і в результаті . Аналогічно знаходяться і моменти відносно осей y та z. Тоді остаточно маємо:

;

;

.

Ці формули дають аналітичні вирази для моментів сили відносно координатних осей.

Оскільки ліві частини наведених вище рівнянь є проекціями вектора на координатні осі ( де О початок координат ), то:

Обчислення головного вектора і головного моменту просторової системи сил. Як ми відзначили вище, значення головного вектора і головного моменту визначаються рівностями: ; (див. лекц. №6).

Покажемо, як і обчислюються аналітично, що нам надалі знадобиться. Вирази для R_x, R_y, R_z нам уже відомі (див. лекц. №3). Проекції вектора на координатні осі будемо позначати M_x, M_y та M_z. Тоді для визначення проекцій головного вектора і головного моменту на осі координат маємо формули:

Отже, для задання (або визначення) будь­якої системи сил, що діє на тверде тіло, достатньо задати (чи визначити) її головний вектор і головний момент відносно деякого центра, тобто шість величин, що входять у ліві частини рівнянь.