2. Додавання багатьох паралельних сил. Центр системи паралельних сил

З

Рис.3

наючи, як додаються дві паралельні сили і застосовуючи спосіб послідовного додавання, можна визначити рівнодійну багатьох паралельних сил.

Нехай маємо паралельні сили , , і (рис.3), прикладені в точках А₁, А₂, А₃ і А_4. Спочатку додамо сили і , дістанемо силу (R₁=F₁+F₂), прикладену в точці С₁:

.

Додамо сили і , дістанемо силу (R₂=R₁+F₃=F₁+F₂+F₃), лінія дії її проходить через точку С₂:

.

Додамо сили і , дістанемо силу , для якої:

.

За точку прикладення цієї сили обираємо точку С, положення якої визначиться за формулою:

Отже, рівнодійна системи паралельних сил, напрямлених в один бік, має той же напрямок, що і дані сили; модуль рівнодійної дорівнює сумі модулів цих сил.

Зрозуміло, що положення точки С залежить тільки від модулів паралельних сил та від точок їх прикладання і не залежить від напрямку сил. Ця точка С називається центром системи паралельних сил.

Визначимо положення центра С системи паралельних сил аналітичним шляхом.

Нехай маємо систему паралельних сил , , , …, , напрямлених в один бік і прикладених у точках А₁, А₂, А₃, ..., А_n, причому координати цих точок (х₁,у₁,z₁), (х₂,у₂,z₂), (х₃,у₃,z₃), ..., (х_n,у_n,z_n) відомі. Необхідно визначити координати х_с, у_с, z_c центра С цієї системи паралельних сил.

Обчислимо спочатку абсциссу х' точки С₁ , в якій прикладена рівнодійна сил і (рис. 3).

Знаючи, що , скористаємось відомою формулою із аналітичної геометрії для координат точки, що ділить відрізок у даному відношенні :

,

де х₁ і х₂ позначають абсциси кінців даного відрізка.

Для нашого випадку , тому маємо:

.

Якщо необхідно визначати абсцису х'' точки С₂, то матимемо:

.

І остаточно:

.

Для інших координат у_с і z_c матимемо такі ж вирази.

Отже, дістанемо такі формули для визначення координат центра паралельних сил:

Зазначимо, що ці формули будуть справедливі й для паралельних сил, напрямлених у різні боки, якщо вважати F_k величинами алгебраїчними і якщо R≠0.

3. Центр ваги твердого тіла. Координати центрів ваги однорідних тіл

На кожну частинку тіла, що знаходиться поблизу земної поверхні, діє напрямлена вертикально вниз сила, яку називають силою ваги.

Рівнодійну сил ваги …, , що діють на частинки даного тіла, позначимо (рис. 4).

М

Рис.4

одуль цієї сили називається вагою тіла і визначається таким чином:

.

При будь-якому повороті тіла сили залишаються прикладеними в одних і тих же точках і паралельними одна одній, змінюється тільки їх напрямок по відношенню до тіла. Отже, рівнодійна сил буде при будь-яких положеннях тіла проходити через одну і ту ж незмінно зв’язану з тілом точку С, яка є центром паралельних сил ваги . Ця точка називається центром ваги тіла.

Координати центра ваги, як центра паралельних сил, визначаються за формулами:

де х_k, у_k, z_k – координати точок прикладання сил ваги , що діють на частинки тіла.

Для однорідного тіла вага будь-якої його частинки пропорціональна об’єму v_к цієї частинки: , а Р=γV, де γ –вага одиниці об’єму. Підставимо ці значення у формули, матимемо:

Точку С, координати якої обчислюються за зазначеними формулами, в цьому випадку називають центром ваги об’єму V.

Якщо тіло є однорідною тонкою платівкою, тоді:

де S – площа всієї платівки; s_k – площа її частин. Точку С, координати якої обчислюють, називають центром ваги площі S.

Аналогічно формула для центра ваги лінії L:

,

де L – довжина всієї лінії, – довжина її частинок.

Таким чином, центр ваги однорідного тіла визначається як центр ваги відповідно об’єму, площі або лінії.