§ 3.5 Тетрагональная система

Рассмотрим класс . Выбираем координаты с осью по оси , а оси , – перпендикулярными к двум из вертикальных плоскостей симметрии. Отражения в этих двух плоскостях означают соответственно преобразования и ; в силу этого исчезают все компоненты с нечетным числом одинаковых индексов. Далее поворот на угол вокруг оси представляет собой преобразование . Отсюда вытекают соотношения:

.

Остальные преобразования, входящие в класс , ничего не добавляют к этим условиям. Таким образом, свободная энергия кристаллов тетрагональной системы имеет вид

(3.5.1)

Она содержит шесть модулей упругости.

Такой же результата получится и для других классов тетрагональной системы, в которых естественный выбор осей координат диктуется симметрией . В классах же однозначен выбор лишь одной оси ( ) – вдоль оси или . При этом требования симметрии допускают существование (помимо фигурирующих в (3.5.1)) еще и компонент

.

Надлежащим выбором направлений осей эти компоненты могут обращены в нуль, и тогда F снова приведется к тому же виду (3.5.1).

С учетом (3.2.2) из (3.5.1) следует

(3.5.2)

Введем следующие обозначения: , , , , , , где A, B, C, E, G и H – коэффициенты, определяющие анизотропию материала.

Согласно (3.1.3), получим компоненты тензора напряжений:

(3.5.3)

Из полученных соотношений выразим компоненты деформаций через компоненты напряжений:

Полученные компоненты подставим в (3.5.2), получим

(3.5.4)

Коэффициенты вычислены в приложении 3.

§3.6 Ромбическая система

Во всех классах этой системы выбор осей координат однозначно диктуется симметрией и для свободной энергии получается выражение одинакового вида. Рассмотрим, например, класс и выберем плоскости координат в трех плоскостях симметрии этого класса. Отражения в каждой из этих плоскостей представляют собой преобразования, при которых одна из координат меняет знак, а две другие – не меняются. Очевидно, поэтому, что из всех компонент отличными от нуля останутся только те, среди индексов которых каждое из их значений , и встречается четное число раз; все остальные компоненты должны были бы менять знак при отражении в какой-нибудь из плоскостей симметрии. Таким образом, общее выражение для свободной энергии имеет в ромбической системе вид

(3.6.1)

_{Она содержит девять модулей упругости.}

Учитывая (3.2.2), (3.6.1) можно привести к виду

(3.6.2)

Используя (3.1.3), получим компоненты тензора напряжений:

; ;

; ; (3.6.3)

; .

Из полученных соотношений выразим компоненты деформаций через компоненты напряжений:

Полученные компоненты подставим в (3.6.2), получим

(3.6.4)

Коэффициенты вычислены в приложении 4.

§ 3.7 Моноклинная система

Рассмотрим класс ; выбираем систему координат с плоскостью х, у, совпадающей с плоскостью симметрии. При отражении в этой плоскости координаты подвергаются преобразованию: х→х, у→у,z→-z. Компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Поэтому ясно, что при указанном преобразовании все компоненты , среди индексов которых индекс z содержится нечетное (1 или 3) число раз, переменят свой знак, а остальные компоненты останутся неизменными. С другой стороны, в силу симметрии кристалла все характеризующие его свойства величины (в том числе и все компоненты ) должны остаться неизменными при отражении в плоскости симметрии. Поэтому ясно, что все компоненты с нечетным числом индексов z должны быть равными нулю. Соответственно этому общее выражение для свободной упругой энергии кристалла моноклинной системы есть

(3.7.1)

Здесь стоят 13 независимых коэффициентов. Такое же выражение получается для класса , а также и класса , содержащего оба элемента симметрии ( и ) вместе. В изложенных рассуждениях, однако соображения симметрии фиксируют выбор направления лишь одной из осей координат (z), направления же осей x,y в перпендикулярной плоскости остаются произвольными. Этим произволом можно воспользоваться для того, чтобы надлежащим выбором осей обратить в нуль одну из компонент. Тогда 13 величинами, характеризующими упругие свойства кристалла, будут 12 отличных от нуля модулей и один угол, определяющий ориентацию осей в плоскости x,y.

С учетом (3.2.2) из (3.7.1) следует

(3.7.2)

Введем следующие обозначения: , , , , , , , , , , , , ,

где A,B,C,D,E,G,H,K,M,N,P,R,T – коэффициенты, определяющие анизотропию материала.

Согласно (3.1.3), получим компоненты тензора напряжений:

;

;

; (3.7.3)

;

;

.

Из полученных соотношений выразим компоненты деформаций через компоненты напряжений:

_{Получим:}

(3.7.4)

где коэффициенты вычислены в приложении.