§3.3 Гексагональная система

Рассмотрим класс и выберем систему координат с осью по оси 6-го порядка. Введем для удобства комплексные «координаты» , согласно

;

координату же оставляем без изменений. При повороте на угол вокруг оси «координаты» , подвергаются преобразованию

; .

Отсюда видно, что отличны от нуля только те компоненты , среди индексов которых индексы и встречаются одинаковое число раз. Таковыми являются:

.

Другие возможные элементы симметрии гексагональной системы ничего не добавляют к этим ограничениям. Таким образом, имеется всего пять модулей упругости. Свободная энергия имеет вид

(3.3.1)

Следует отметить, что деформация в плоскости , (деформация с отличными от нуля ) определяется всего двумя упругими модулями, как и для изотропного тела; другими словами, в плоскости, перпендикулярной к гексагональной оси, упругие свойства гексагонального кристалла изотропны.

По этой причине выбор направлений осей в этой плоскости вообще несущественен и никак не отражается на виде . Выражение (3.3.1) относится поэтому ко всем классам гексагональной системы.

С учетом (3.2.2) из (3.3.1) следует

(3.3.2)

Введем следующие обозначения: , , , , ,

где A, B, C, E и G – коэффициенты, определяющие анизотропию материала.

Согласно (3.1.3), получим компоненты тензора напряжений:

; ;

; ; (3.3.3)

; .

Введем следующие обозначения: , ,тогда из (3.3.3) получим:

;

;

.

Из полученных соотношений выразим компоненты деформаций через компоненты напряжений:

;

;

;

;

;

.

Полученные компоненты подставим в (3.3.2), получим

(3.3.4)

Коэффициенты вычислены в приложении 1.

§ 3.4 Ромбоэдрическая система

Рассмотрим класс и выберем систему координат с осью вдоль оси 3-го порядка и осью , перпендикулярной к одной из вертикальных плоскостей симметрии. Для выяснения ограничений, налагаемых на компоненты тензора наличием оси введем опять «координаты» , .

Координату оставляем без изменений. К этим новым «координатам» преобразуем также и тензор ; в его компонентах индексы пробегают теперь значения , , . Легко видеть, что при повороте на 120° вокруг оси «координаты» подвергаются преобразованию

; ; .

Отличными от нуля могут быть в силу симметрии кристалла только те из компонент , которые не меняются при этом преобразовании. Очевидно, что этим свойством обладают те компоненты, среди индексов которых три раза повторяются или (обращаем внимание на то, что ), или индекс содержится столько же раз, сколько (поскольку ); таковыми являются компоненты:

.

Отражение в плоскости симметрии, перпендикулярной оси , есть преобразование , , , или для величин , : , . Поскольку при этом преобразовании переходит в , то эти две компоненты должны быть равны друг другу. Таким образом, кристаллы ромбоэдрической системы обладают всего шестью модулями упругости. Для того, чтобы написать выражение для свободной энергии, надо составить сумму , в которой индексы пробегают значения , , ; поскольку нам надо выразить через компоненты тензора деформации в координатах , , , то мы должны выразить через них компоненты в «координатах» , , . Это легко сделать, воспользовавшись тем, что компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Так, например, из

следует, что

.

В результате находим для следующее выражение:

(3.4.1)

Она содержит 6 независимых коэффициентов. Такой же результат получится для классов и . В классах же и , в которых выбор осей , остается произвольным, требования симметрии допускают также и отличную от нуля разность

.

Она может быть обращена в нуль надлежащим выбором осей , .

С учетом (3.2.2) из (3.4.1) следует

(3.4.2)

Введем следующие обозначения: , , , , , , где A, B, C, H, E и G – коэффициенты, определяющие анизотропию материала.

Согласно (3.1.3), получим компоненты тензора напряжений:

(3.4.3)

Введем следующие обозначения: , , тогда из (3.4.3) получим:

;

;

.

Из полученных соотношений выразим компоненты деформаций через компоненты напряжений:

Полученные компоненты подставим в (3.4.2), получим

(3.4.4)

Коэффициенты вычислены в приложении 2.