Глава III. Определение условий пластичности для анизотропных материалов, структура которых обладает определенным видом симметрии

§ 3.1 Упругие свойства кристаллов

Рассмотрим общий вид деформированного материала. Предположим, что справедлив принцип соответствия между деформированными кристаллами и анизотропией свойств материала в результате рекристаллизации текстуры, приближающейся к текстуре монокристалла, где под свободной энергией F будем понимать коэффициент k – коэффициент текучести материала.

Согласно [14], общий вид деформированного кристалла есть

(3.1.1)

где есть некоторый тензор 4-го ранга, называемый тензором модулей упругости. Поскольку тензор деформации симметричен, то произведение не меняется при перестановке индексов с , с или пары с парой ., поэтому, тензор может быть определен так, чтобы он обладал такими же свойствами симметрии по отношению к перестановке индексов:

. (3.1.2)

Путем простого подсчета можно убедиться в том, что число различных компонент тензора 4-го ранга, обладающего такими свойствами симметрии, равно в общем случае 21.

Соответственно выражению (3.1.1) для свободной энергии зависимость тензора напряжений от тензора деформации имеет в кристаллах вид

. (3.1.3)

Наличие той или иной симметрии кристалла приводит к появлению зависимостей между различными компонентами тензора , так что число его независимых компонент оказывается меньшим, чем 21.

Рассмотрим эти соотношения для всех возможных типов макроскопической симметрии кристаллов, т.е. для всех кристаллических классов, распределив их по соответствующим кристаллическим системам: триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной, ромбоэдрической, гексагональной, кубической.

Число независимых параметров (модулей упругости или углов, определяющих ориентацию осей в кристалле) для классов различных систем:

триклинная……………………………………………………..21

моноклинная…………………………………………………...13

ромбическая………………………………………………….…9

тетрагональная………………………………………………….7

тетрагональная………………………………………………….6

ромбоэдрическая………………………………………………..7

ромбоэдрическая………………………………………………..6

гексагональная………………………………………………….5

кубическая………………………………………………………3

Минимальное число отличных от нуля модулей, которого можно добиться надлежащим выбором осей координат, одинаково для всех классов в каждой системе:

триклинная……………………………………………………..18

моноклинная…………………………………………………...12

ромбическая………………………………………………….…9

тетрагональная………………………………………………….6

ромбоэдрическая………………………………………………..6

гексагональная………………………………………………….5

кубическая………………………………………………………3

§ 3.2 Кубическая система

Рассмотрим кубическую систему. Направим оси x, y, z по трем осям 4-порядка кубической системы. Уже наличие тетрагональной симметрии (с осью 4-го порядка вдоль оси z) ограничивало число различных компонент тензора следующими шестью:

.

Повороты на 90° вокруг осей x и y дают соответственно преобразования и . В силу них из написанных шести компонент делаются равными первая со второй, третья с четвертой и пятая с шестой. Таким образом, остаётся всего три различных модуля упругости. Свободная энергия кристаллов кубической системы имеет вид

(3.2.1)

Для компонентов тензора деформаций справедливы следующие формулы:

; ; ;

; ; ; (3.2.2)

; ; .

С учетом (3.2.2) из (3.2.1) следует

(3.2.3)

Введем следующие обозначения: , , ,

где A, B и C – коэффициенты, определяющие анизотропию материала.

Согласно (3.1.3), получим компоненты тензора напряжений:

; ;

; ; (3.2.4)

; .

Введем следующее обозначение: , тогда из (3.2.4) получим:

;

;

.

Из полученных соотношений выразим компоненты деформаций через компоненты напряжений, используя правило Краммера:

; ; ; ;

Полученные компоненты подставим в (3.2.3), получим

Введем следующую замену: , ,

. Тогда

(3.2.5)

т.е. получим условие пластичности анизотропного материала, обладающего кубической симметрией.