Упражнения для самоконтроля

1. Используя вероятностное распределение Максвелла по скоростям для частиц в идеальном газе, определить среднеквадратичную скорость.

Распределение Максвелла:

,

среднеквадратичная скорость ищется на основе общей формулы (раздел 2.4) для вычисления средних величин по распределению как:

.

Ответ:

2. Используя вероятностное распределение Максвелла концентрации по скоростям для частиц в идеальном газе, определить средний модуль скорости.

Распределение Максвелла:

,

n — концентрация частиц; m — масса частицы; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура.

Средний модуль скорости ищется как

.

Ответ: .

3. Используя формулу Саха, построить зависимость степени ионизации газа в зависимости от температуры. Потенциал ионизации и полная концентрация частиц до ионизации заданы.

Формула Саха:

x — степень ионизации; n — полная концентрация частиц до ионизации; , ,  — степень вырожденности дляэлектронов, ионов, нейтральных частиц, соответственно; , ;  — масса электрона; k — постоянная Больцмана; h — постоянная Планка;  — потенциал ионизации в эВ; Т — абсолютная температура.

3. Элементы теории столкновений

3.1. Столкновение частиц в газах. Понятиe о дифференциальном сечении столкновения

О

Рис. 18. Отклонение частицы 1 при столкновении с частицей 2 в малый телесный угол

сновным физическим эффектом в газах являются столкновения частиц, составляющих газ. Переход газа от неравновесного состояния к равновесному осуществляется благодаря большому количеству актов взаимодействия частиц, происходящих на малом расстоянии между ними. Учитывая, что размеры частиц намного меньше среднего расстояния между ними, эти взаимодействия можно трактовать, как столкновения. В газах среднее расстояние между частицами можно оценить как . Характерным для газов является то, что много больше величины  — расстояния на котором происходит взаимодействие. В электрически нейтральных газах частицы в промежутках между столкновениями движутся по прямой линии. Поэтому траектория движения частицы газа близка по форме к ломаной линии. Наиболее вероятным взаимодействием в газе являются парные столкновения, т. е. взаимодействия двух частиц.

Рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть имеется пучок частиц с концентрацией и скоростью . Частицы пучка сталкиваются с неподвижными частицами (мишенями), концентрация которых равна . В результате столкновений частицы первого типа рассеиваются, т. е. изменяют направление своего движения на некоторый угол. Предположим, что частицы-мишени достаточно малы и частица пучка может испытать не более одного столкновения. Разместим в области частиц мишеней начало сферической системы координат и рассчитаем долю частиц пучка, отклонившихся в результате столкновений в малый телесный угол (рис. 18). Число частиц типа 1 (частицы пучка), рассеянных в элемент телесного угла при столкновении с частицами типа 2 (частицы мишени) в единице объема за единицу времени, пропорционально числу частиц-мишеней в единице объема , числу частиц пучка, поступающих в единицу объема за единицу времени , а также самому телесному углу:

где коэффициент пропорциональности имеет размерность площади и в общем случае зависит от скорости сближения частиц, в нашей задаче это , и от угла рассеяния . Величина зависит от сорта частиц и характеризует конкретную природу их взаимодействия. Величина носит название дифференциального сечения рассеяния в элемент телесного угла . Можно дать геометрическую трактовку дифференциального сечения рассеяния, как плоскость проекции мишени на плоскость, перпендикулярную вектору скорости сближения , попадание в которую приводит к отклонению в телесный угол .

Рассмотрим, когда скорость падающих частиц одинакова, а не зависит от угла . Тогда полное число частиц, рассеянное в телесный угол 4π за 1 с в расчете на 1 м³, составит

где  — полное сечение рассеяния. Величина характеризует интегральный эффект, т. е. полное число частиц, покидающий поток за единицу времени в единице объема. Геометрическая интерпретация полного сечения — это площадь мишени, соответствующей одной частице типа 2. Численное значение сечения для электрически нейтральных частиц имеет порядок м².

В предположении, что не зависит от угла , получаем . Откуда . Параметр называется сечением рассеяния в единицу телесного угла.