1.3.3. Множества высших мощностей.

Опр. 1.3.6. Если множества А и В неравномощны, но одно из них, например, А, равномощно с некоторым подмножеством множества В, то множество В называется множеством большей мощности, чем А.

Минимальной мощностью обладает пустое множество. Счётное множество имеет большую мощность, чем любое конечное, континуум - большую мощность, чем счётное. Существуют ли множества большей мощности? Следующая теорема показывает, что для любого множества можно построить более мощное множество.

Теор. 1.3.1. Мощность множества всех подмножеств непустого множества А больше, чем мощность исходного множества А.

Док-во. Мощность множества В подмножеств любого множества А не меньше, чем мощность А (В содержит подмножества, состоящие из одного элемента, мощность множества B₁={B_1,a| B_1,a={a}} таких подмножеств равна мощности множества А в силу взаимно-однозначного соответствия а B_1,a). Следовательно, мощность В больше или равна мощности А. Докажем, что мощность В не может быть равна мощности А. Применим доказательство от противного. Предположим, что существует взаимно-однозначное соответствие между элементами А и В, т.е. каждому элементу хА поставлено в соответствие подмножество А_хА. Возможны два случая: хА_х и хА_х. Элементы х, такие, что хА_х, будем называть элементами первого типа, элементы х, такие, что хА_х, назовём элементами второго типа. Рассмотрим множество С элементов второго типа. В соответствии хА_х множеству СВ соответствует элемент х_СА. Каков тип элемента х_С? х_С не может быть элементом первого типа, так как в этом случае должно быть х_СС, а С состоит из элементов второго типа. х_С не может быть элементом второго типа, так как в этом случае должно быть х_СС, а С содержит все элементы второго типа. Полученное противоречие показывает, взаимно-однозначного соответствия между элементами А и В существовать не может, т.е. мощность В больше мощности А.

Теор. 1.3.2.: Мощность прямого произведения множеств А и В равна произведению их мощностей.

|A_B| = |A| |B|.

Доказательство: первый компонент упорядоченной пары можно выбрать |А| способами, второй - |B| способами. Таким образом, всего имеется |A| |B| различных упорядоченных пар.

Следствие: |Aⁿ| = |A|ⁿ.

1.4. Мера множества

Мера множества, математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы.

Простейшим примером меры является мера Жордана (1893) , равная площади фигуры, являющейся ограниченной областью.

В качестве более сложного примера можно привести определение меры Лебега (1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости (обобщение меры Жордана на случай, когда измеряемое множество не является областью).

При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения.

При этом и способ сравнения напоминает обычный процесс измерения площади.

Меру Лебега m (D) любого квадрата D полагают равной его площади. Затем рассматриваемое множество А покрывают конечным или бесконечным числом квадратов D₁, D₂,..., D_n,...; нижнюю грань чисел _im(D_i), взятую по всевозможным покрытиям множества А, называют верхней (внешней) мерой М^*(А) множества А.

Нижняя (внутренняя) мера m^* (А) множества А определяется как разность m^* (А) = m (D) - M^* (ùА) , где D — какой-либо квадрат, содержащий множество А, и ùА - множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в А.

Множества, для которых верхняя мера равна нижней, называют измеримыми по Лебегу, а общее значение m (А) верхней и нижней мер — мерой Лебега множества А.

Геометрические фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле (Квадрируемая область, ограниченная область, имеющая определённую площадь, или, что то же — определённую плоскую меру в смысле Жордана), измеримы, и их мера Лебега совпадает с их площадью.

Однако существуют и неквадрируемые измеримые множества.

Аналогично можно определить меру Лебега на прямой.

При этом верхнюю меру определяют, рассматривая покрытия множества интервалами.

Основные свойства меры Лебега:

1. мера любого множества неотрицательна: m (A)>0;

2. мера суммы конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств A₁, A₂..., A_n... равна сумме их мер: m(È_iА_i) =_im(А_i).

3. при перемещении множества как твёрдого тела его мера не меняется.

Своеобразие понятия "М. м." можно пояснить следующим примером: множество А рациональных точек интервала (0,1) и множество В иррациональных точек того же интервала сходны в том смысле, что каждое из них плотно на интервале (0,1), т. е., что между любыми двумя точками указанного интервала найдутся как точки множества А, так и точки множества В; в то же время они резко различаются по мере: m (А) = 0 (это множество счётно, а значит, оно не является континуумом), а m (В) = 1 (это множество отрезка меры 1 без счётного его подмножества).

Развитие ряда разделов математики привело к дальнейшим обобщениям - созданию т. н. абстрактной теории меры. При этом М. м. определяют аксиоматически. Пусть U - произвольное множество и M - некоторое семейство его подмножеств. Неотрицательную функцию μ(A), определённую для всех А, входящих в M, называют мерой, если она вполне аддитивна.

Функция μ(A) вполне аддитивна, если для любой последовательности непересекающихся множеств A₁, A₂,..., A_n,..., входящих в M, сумма А которых входит в M, имеет место равенство

μ(А) =_iμ (А_i).

и если, кроме того, система M  удовлетворяет определённым дополнительным условиям. Множества, входящие в M, называют измеримыми (по отношению к мере m). После того как определена мера m, вводят понятие измеримых (по отношению к m) функций и операцию интегрирования.

НО это раздел интегралов в матанализе.

Задачи.

Доказать:

1. А\(ВС) = (А\В)\С.	6. D=A(B\C)  (AB)\CD.
2. А=ВС  А\ВС.	7. (A1A2)\(B1B2)  (A1\B1)(A2\B2).
3. А\В=С  А( ВС).	8. .
4. АВ  АВ=А.	9. .
5. АВ  АВ=В.

Привести пример таких множеств, что

1. A  B(A\B).	3. D=A(B\C), но D(AB)\C.
2. A = BC, но A\BC.	4. (A1A2)\(B1B2)  (A1\B1)(A2\B2).