1.3. Мощность множества.

Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов. Для бесконечных множеств такого простого правила сравнения количеств элементов в них нет; чтобы получить возможность описывать количество элементов в бесконечных множествах, введём следующие определения.

Опр. 1.3.1. (биекция) Между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу множества А каким-либо образом сопоставлен единственный элемент множества В, при этом каждому элементу множества В сопоставляется единственный элемент множества А.

В принципе:

Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x₁, x₂  X, для которых f(x₁) = f(x₂) следует, что x₁ = x₂. (рис. 7)

Сюръекцией (или отображением "на" ) называется отображение, при котором f(X) = Y (рис. 8).

Биекция – это одновременно и сюръекция и инъекция.

Характеристическая функция, или индикатор множества. Пусть AX— выбранное подмножество произвольного множества X. Функция 1_A:X{0,1}, определённая следующим образом:

называется индикатором множества A.

Основные свойства

Отображение, которое связывает подмножество AX с его индикатором 1_A инъективно. Если A и B — два подмножества X, то:

1_AB=min{1_A, 1_B}=1_A1_B

1_AB=max{1_A, 1_B}=1_A+1_B -1_A1_B

1_A=1-1_A

Опр. 1.3.2. Множества, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, называются равномощными (имеющими одинаковую мощность, эквивалентными). Равномощность множеств обозначается символом "~": А~В.

Так, для приведённых выше множеств взаимно-однозначное соответствие устанавливается соотношениями -2с, 0ф, 3а, 8х. Однако ценность опр. 1.8 эквивалентности множеств заключается в том, что оно применимо к любым, в том числе бесконечным, множествам. Так, рассмотрим множество N натуральных чисел и множество N2={ 2, 4, 6, …} четных чисел. Взаимно-однозначное соответствие между этими множествами устанавливается соотношениями n2n, следовательно, эти множества равномощны: N~N2. Этот пример показывает, что собственное подмножество может быть равномощным всему множеству; естественно, это может быть только для бесконечных множеств.

Соотношение ~ эквивалентности множеств транзитивно: если А~В, В~С, то А~С. Взаимно-однозначное соответствие между элементами а множества А и с множества С устанавливается по цепочке а вс.

Опр. 1.3.4. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N называется счётным множеством.

Другими словами, множество счётно, если его элементы можно перенумеровать всеми натуральными числами. Счётны множества N2 чётных натуральных чисел, множество нечётных чисел (соответствие n2n-1), множество всех целых чисел {0,1,2,3,4,…} (соответствие 10, 2-1, 31, 4-2, 52, …; вообще n(n-1)/2 для нечётных n и n-n/2 для чётных n).

Равномощны множества точек любых двух отрезков [a,b] и [c,d] (соответствие можно установить, например, с помощью центрального проектирования; рис. 8). Так же можно доказать равномощность множеств точек любых двух интервалов. Множество точек интервала равномощно множеству точек всей прямой (рис. 9). Сложнее ответить на вопрос, равномощны ли множества точек отрезка и интервала. Положительный ответ на этот вопрос даёт следующая теорема:

Теор. 1.3.1. Если множество А равномощно подмножеству В₁ множества В, а множество В равномощно подмножеству А₁ множества А, то множества А и В равномощны.

Опр. 1.3.5. Множество, эквивалентное множеству точек любого отрезка, называется множеством мощности континуум.

Рассмотрим более подробно свойства счётных множеств и множеств мощности континуум.