1 .2. Операции над множествами.

В этом параграфе будут рассмотрены три простые операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и разность (дополнение) множеств.

Опр.1.2.1. Пусть даны множества А и В. Их объединением называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В.

Объединение множеств обозначается символами "+" и " ": . Пусть, например, А={-6, -3, 0, 3, 6} B={0, 2, 4, 6, 8}. Тогда . Геометрически объединение множеств изображено на рис. 2.

Аналогично определяется объединение большего числа множеств.

Опр.1.2.2. Объединением множеств А₁, А₂, А₃, …, А_n (обозначение называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А₁, А₂, А₃, …, А_n.

Свойства операции объединения.

Теор. 1.2.1. Справедливы следующие равенства:

1. (коммутативность);

2. (А В) С=А (В С) (ассоциативность);

3. Если , то А В= А;

4. А Ø= А.

Док-во. Формулы, подобные формулам 1-2, обычно доказываются так. Берётся элемент, принадлежащий правой части равенства, и доказывается, что он принадлежит левой части. В результате для формулы 1, например, будет доказано, что . Затем берётся элемент, принадлежащий левой части, и доказывается, что он принадлежит правой части равенства; для формулы 1 это будет означать, что . Из включений и следует, что .

И так, пусть . Это значит, что либо , либо , либо одновременно и . Во всех трех случаях . Включение доказано. Пусть теперь . Это значит, что либо , либо , либо одновременно и . Во всех трех случаях . Включение доказано. Следовательно, , что и требовалось доказать.

Другой способ доказательства - изобразить левую и правую часть равенства для одних и тех же множеств на диаграммах Эйлера-Венна и убедиться, что они изображают одно и тоже множество. Так, для формулы 1 диаграммы приведены слева.

Задание. Самостоятельно доказать включения соответствующих множеств и изобразить диаграммы для формул 2-4.

Опр.1.2.3. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множества А и В называются непересекающимися.

Пересечение множеств обозначается символами " " и " " (знак умножения): или С=АВ. Для примера, приведенного после опр.1.2.1, . Геометрически пересечение множеств представлено на рис. 3.

С войства операции пересечения множеств.

Теор. 1.2.2. Справедливы следующие равенства:

5. (коммутативность);

6. (А В) С=А (В С) (ассоциативность);

7. Если , то А В= В;

8. А Ø= Ø.

Задание. Самостоятельно доказать включения соответствующих множеств и изобразить диаграммы для формул 5-8.

Опр. 1.2.4 пересечения множеств для большего числа множеств: Пересечением множеств А₁, А₂, А₃, …, А_n (обозначение ) называется множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из множеств А₁, А₂, А₃, …, А_n.

Теор. 1.2.3. Для операций объединения и пересечения множеств справедливы законы дистрибутивности:

9. ;

10. .

Док-во: Докажем формулу 9. Пусть . Тогда либо (следовательно, и , т.е. ); либо (следовательно, одновременно, ( ) и ( ), т.е. ); либо одновременно и (в этом случае можно применить любое из приведённых выше рассуждений). Таким образом, доказано, что .

Пусть . Рассмотрим два случая. 1. Пусть .Тогда . 2. Пусть , но , т.е. одновременно и , и . Это возможно, только если одновременно и , и ; т.е. , откуда следует, что . Включение доказано.

Задание. Самостоятельно доказать формулу 10.

Опр. 1.2.5. Разностью множеств А и В называется множество А\В, содержащее те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

В опр. 1.2.5 не предполагается, что (рис. 4). Если же , то разность А\В называется дополнением множества В до множества А (рис. 5). Для дополнения множества А до универсального множества U применяется обозначение (рис. 6).

Теор. 1.2.4. Операции разности и дополнения антидистрибутивны относительно операций объединения и пересечения:

11. ;

12. .

(Дополнение к объединению некоторых множеств равно пересечению их дополнений; дополнение к пересечению множеств равно объединению их дополнений. Другими словами, символ дополнения \ можно менять местами со знаками и , при этом один из этих знаков заменяется другим).

Док-во. Докажем формулу 11. Пусть . Это означает, что и , т.е. , . Следовательно, и , т.е. . Включение доказано.

Пусть . Это означает, что одновременно и (т.е. и ), и (т.е. и ). Так как и , то . Но , следовательно, . Включение доказано. Из справедливости доказанных включений следует справедливость формулы 11.

Задание. Самостоятельно доказать формулу 12 и обобщение формул 11, 12 на большее число множеств:

13. ; 14. .

Прямое произведение множеств.

Упорядоченные пары.

Если a и b – объекты, то через (a,b) обозначим упорядоченную пару. Равенство упорядоченных пар определяется следующим образом:

(a, b) = (c, d) ^a=с и b=d.

Т. е. (a, b) _(b, a), если a_b.

Пример: (3,4) _ (4,3).

Пусть A и B – два множества.

Прямым (декартовым) произведением двух множеств A и B называется множество упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит A, а второй принадлежит B.

A_B = {(a, b) | a A, b B}.

Пример: точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат, т.е. двумя точками на координатных осях. Т.о., R² = R_R. Метод координат ввел в употребление Рене Декарт (1596 - 1650), отсюда и название – «декартово произведение».

Степенью n множества А называется его прямое произведение самого на себя n раз.

Aⁿ = A_{AA... A}

Соответственно, A¹ = A, A² = A_A и вообще Aⁿ = A_A^n-1.

Бинарным отношением между любыми двумя множествами Xи Y(или просто на X, если Y=X) называется всякое подмножество R декартова произведения этих множеств: RXY. Или R называют бинарным отношением на множестве А, если RАА. При этом вместо записи (х,у)R часто используют запись xRy.

Если RXY , то говорят, что R определено на паре множеств X и Y.

Инверсия (обратное отношение) R — это множество {(х,у)(у,х)R} и обозначается, как R^-1.

Композиция (суперпозиция, произведение) бинарных отношений R и S — это множество {(х,у) z(xSzzRy)} и обозначается, как R·S .

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как:

• Рефлексивность: xM(xRy).

• Антирефлексивность (иррефлексивность): xM(xRy).

• Симметричность: x,yM(xRyyRx).

• Антисимметричность: x,yM(xRyyRxx=y).

• Транзитивность: x,y,zM(xRyyRzxRz).

• Асимметричность: x,yM(xRyyRx). Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности.

Отношение эквивалентности (отношение тождества, отношение типа равенства) — двухместное отношение R между предметами х и у в предметной области D, удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям):

1. аксиоме рефлексивности : xRx (предмет находится в отношении R к само­му себе);

2. аксиоме симметрич­ности: xRyyRx (если предмет х находится в отношении R к пред­мету у, то и у находится в отношении R к х);

3. аксиоме транзитивности: xRy&yRzxRz (если предмет х находится в отношении R к предмету у и у находится в отношении R к z, то х находится в отношении R к z).

Таким образом, отношение типа равенства является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Отношения порядка — отношения, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности. В частности, отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует «нестрогий» порядок. Отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — «строгий» порядок.