1.3.1. Счётные множества.

1. Любое бесконечное подмножество В счётного множества А также счётно.

Элементы В можно перенумеровать в порядке их следования в А; так как В бесконечно, для нумерации будут использованы все натуральные числа.

2. Объединение конечной или счётной совокупности счётных множеств - счётное множество.

Докажем это утверждение сначала для двух счётных множеств А={a₁, a₂, a₃,…} и В={b₁, b₂, b₃,…}. Выпишем все элементы этих множеств в одну строчку a₁, b₁, a₂, b₂, a₃, b₃,… и сопоставим каждому элементу его номер в этой строчке (если Ø, т.е. какой-то элемент входит и в А, и в В, он получает номер только в первый раз, а во второй раз пропускается). В результате будут пронумерованы все элементы множества , что доказывает его счётность. Также доказывается счётность объединения трёх, четырёх и вообще любого конечного числа счётных множеств. В случае счётного числа счётных множеств {A₁, A₂, A₃, A₄, …}способ нумерации может быть, например, таким:

A1={a11, a12, a13, a14,…} A2={a21, a22, a23, a24,…} A3={a31, a32, a33, a34,…} A4={a41, a42, a43, a44,…} …………………………

Нумерация начинается с элемента a11 и продолжается в направлении стрелок, повторяющиеся элементы при этом пропускаются.

3. Множество Q рациональных чисел счётно.

Множество рациональных чисел (чисел вида p/q, где p,q - целые числа, q0) можно представить как объединение счётного числа следующих счётных множеств:

множества Q₁ всех целых чисел n=0,1,2,3,….;

множество Q₂ всех дробей вида n/2, множество Q₃ всех дробей вида n/3,…………….,

множество Q_к всех дробей вида n/к, n=0,1,2,3,…..; следовательно, оно счётно.

Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

4. Если А={a_n|nZ} и В={b_n|nZ} - счётные множества, то множество всех пар {(a_n,b_к)|n,кZ} - счётно.

5. Множество всех многочленов (произвольных степеней) с рациональными коэффициентами (a_iQ) счётно.

6. Алгебраическим числом называется число, которое может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Доказать, что множество алгебраических чисел счётно.

7. Множество всех отрезков [a,b] с рациональными концами a, b счётно.

8. Множество взаимно не пересекающихся интервалов (a,b) на оси счётно.

9. Множество точек разрыва монотонной функции счётно.

1.3.2. Множества мощности континуум.

1. Множество мощности континуум несчётно.

Применим метод доказательства от противного. Множество мощности континуум - множество, равномощное множеству точек любого отрезка. Возьмём отрезок [0,1]. Каждой точке х[0,1] сопоставим представление числа х в виде бесконечной десятичной дроби вида х=₀, ₁₂_3…..; это представление единственно, если договориться, что в случаях возможной неоднозначности (число 0,5, например, можно представить и в виде 0,5000000…., и в виде 0,4999999….) применяется представление с периодом, равным нулю. Предположим, что множество точек, а следовательно, и множество таких дробей счётно, т.е. они могут быть пронумерованы, в качестве номера используем верхний индекс:

х(1)=0(1), 1(1)2(1)3(1)…….; х(2)=0(2), 1(2)2(2)3(2)…….; х(3)=0(3), 1(3)2(3)3(3)…….; ……………………………...; х(n)=0(n), 1(n)2(n)3(n)…….; ……………………………….

Построим точку х=0, 123…..[0,1], заведомо не принадлежащую этой последовательности. Возьмём 0=0. В качестве 1 возьмём любую цифру, неравную 1(1) и 9; в качестве 2 - любую цифру, неравную 2(2) и 9 и т.д.; вообще в качестве n возьмём любую цифру, неравную n(n) и 9.

Построенная точка не может входить в последовательность х⁽¹⁾, х⁽²⁾, х⁽³⁾,…, х⁽ⁿ⁾,…(х х⁽ⁿ⁾,т.к. _(n)_n⁽ⁿ⁾)- получено противоречие с предположением о счётности точек отрезка.

2. Если А - бесконечное множество, В - конечное или счётное множество, то -множество, равномощное А.

Выберем в А счётное подмножество С и пусть D=А\С. Тогда А= D С; А В= D (С В). С и В - счётные множества, следовательно, С В -также счётное множество, т.е. существует взаимно-однозначное соответствие между элементами С и С В. Применяя это соответствие и тождественное соответствие между элементами множества D, получим взаимно-однозначное соответствие между элементами D С и D (С В), что означает равномощность множеств А и А В.

Следует отметить, что из этого свойства непосредственно следует равномощность множеств точек отрезка и интервала.

Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

3. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуум.

4. Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. Доказать, что множество трансцендентных чисел имеет мощность континуум.