3.3.Формулы частного масштаба длин, масштаба площадей, искажения углов

1. а) б) в)

dy

dx

Рис.4.

Из бесконечно малого сфероидического треугольника АА₁А₂ на эллипсоиде (рис.4а) бесконечно малый отрезок ; из соответствующего ему плоского тргольника (Рис. 4б) на карте . Из треугольников на рисунках 4а и 4в , , где r – радиус параллели, а М – радиус кривизны меридиана. Подставив в общую формулу частного масштаба длин полученные выражения, имеем [1].

После дифференцирования и замен получим развернутую формулу частного масштаба длин:

(1),

где e, f, g, – коэффициенты Гаусса, M – радиус кривизны меридиана, r- радиус параллели,  – азимут отрезка АА₁. Если =0^о(180^о), то из данного выражения получается формула частного масштаба по меридиану , а если =90^о(270^о), то получится формула масштаба по параллели . Для шара .

а) б)

Рис. 5

Из рисунков 5а и 5б площадь бесконечно малой трапеции на эллипсоиде , а площадь соответствующей трапеции на карте , где i – угол между стороной и основанием трапеции. Подставив эти выражения в общую формулу масштаба площадей , получим [1]. Зная, что отношения в скобках есть частные масштабы m и n, окончательная формула масштаба площадей получит вид: (2).

Для проекций с ортогональной сеткой

а) б)

Рис.6

Д ля вывода формулы искажения углов воспользуемся рисунками (рис 6а,б) с изображениями бесконечно малых отрезков на эллипсоиде (dS) и на плоскости (dS`), имеющих азимуты соответственно α и α`. Из бесконечно малых построенных относительно отрезков dS и dS’ прямоугольных треугольников на эллипсоиде и на карте (Рис.6):

, ; , .

После преобразования и подстановки получим: , .

Поскольку , то после замены dS’_n и dS’_m .Если правую и левую части выражения прибавить к tg и отнять от tg, тогда . Из школьной программы известно, что . После подстановки правого выражения в последнюю формулу имеем: , . Разделив первую формулу на вторую, получим . В этой формуле , при и поскольку , тогда . Таким образом в итоге

(3).

В проекциях с ортогональной сеткой .

3 .4. Нормальные цилиндрические проекции (нцп).

-Х

Рис.7

Общие формулы и свойства нцп.

На рисунке 7а представлена геометрическая иллюстрация НЦП.

Картографическая сетка этой проекции дана на рисунке 7б, из которого следует, что ; , где - константа, значение которой зависит от радиуса главной параллели, .

Из рисунков 7в, г ; .

Искажения в данном классе проекции зависят от , но на главных параллелях они отсутствуют. Если , то НЦП применяют для крупномасштабного картографирования территорий, расположенных по обе стороны (южнее и севернее) экватора, в пределах полосы шириной 6⁰-7⁰ , и вытянутых вдоль него (рис.8а); если проекция имеет две главные параллели (расположенные на краях этой полосы), то зона с небольшими значениями искажений увиличивается примерно в два раза, до 12⁰-14⁰ (рис. 8б). Кроме того, данный класс проекций применяют для обзорных (мелкомасштабных) карт мира.

а) б)

φ_o2

φ_o

φ_o1

Рис.8