Задачі з теорії ймовірностей

Для їх виконання необхідно:

1. Переписати текст задачі, замінюючи в умові всі параметри їх конкретними значеннями відповідно до одного з 30 варіантів.

2. Визначити випробування і елементарні події.

3. Визначити досліджувану подію А і інші події.

4. Установити, які формули слід використовувати для обчислення і виконати останні.

Обчислення проводити, по можливості, точніше.

Задача 2.1. Підкидають дві монети. Знайти ймовірність того, що (далі подані умови для кожного з варіантів):

1. На обох монетах з’явиться “герб”.

2. Хоча б на одній монеті з’явиться “герб”.

3. Ні на одній з монет не з’явиться “герб”.

Підкидають три монети. Знайти ймовірність того, що:

4. На всіх монетах з’явиться “герб”.

5. Принаймні на одній монеті з’явиться “герб”.

6. Тільки на двох монетах з’явиться “герб”.

7. Тільки на одній монеті з’явиться “герб”.

8. Ні на одній монеті не з’явиться “герб”.

Підкидають чотири монети. Знайти ймовірність того, що:

9. На всіх монетах з’явиться “герб”.

10. Хоч би на одній монеті з’явиться “герб”.

11. Тільки на одній монеті з’явиться “герб”.

12. Тільки на двох монетах з’явиться “герб”.

13. Тільки на трьох монетах з’явиться “герб”.

14. Ні на одній монеті не з’явиться “герб”.

Підкидають гральний кубик. Знайти ймовірність того, що на верхній грані з’явиться:

15. Парне число очок.

16. “1” або “6”.

Підкидують два гральних кубики. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях з’являться такі числа очок:

17. Тільки парні.

18. Одне парне, друге – непарне.

19. Сума яких парна.

20. Сума яких непарна.

21. Сума яких більша, ніж їх добуток.

22. Сума яких менша шести.

23. Сума яких більша восьми.

Підкидають три гральні кубики. Знайти ймовірність того, що на верхніх гранях з’являться такі числа очок:

24. Тільки парні.

25. Одне парне, решта – непарні.

26. Сума яких парна.

27. Сума яких непарна.

28. Які всі однакові.

29. Які всі різні.

30)Сума яких ділиться на чотири.

Задача 2.2. Слово складене із карточок, на кожній з яких написана одна буква. Знайти ймовірність того, що букви виймуться за порядком даного слова (слова за варіантами):

0. Математика.

1. Програміст.

2. Програма.

3. Програмування.

4. Статистик.

5. Статистика.

6. Подія.

7. Випадковість.

8. Ймовірність.

9. Алгоритм.

10. Блок-схема.

11. Підпрограма.

12. Процедура.

13. Присвоювання.

14. Умова.

15. Процесор.

16. Пакет.

17. Пристрій.

18. Перфокарта.

19. Пророк.

20. Феріт

21. Магніт.

22. Плазма.

23. Коловорот.

24. Провідник.

25. Транзистор.

26. Інтеграл.

27. Похідна.

28. Піраміда.

29. Приріст.

30. Оператор.

Задача 2.3. Розв’язати задачу. Умова задачі збігається з номером варіанта:

0. Достатньою умовою складання колоквіуму є відповідь на одне з двох запитань, запропонованих викладачем студентом. Студент не знає відповідей на 8 запитань з 40. Яка ймовірність, що студент складе колоквіум

1. Ділянка електричного ланцюга має вигляд:

А

В

С

Імовірність виходу зі строю елементів А, В, С відповідно дорівнює Р(А)=0,2; Р(В)=0,1; Р(С)=0,15. Знайти ймовірність розриву ланцюга.

2. У партії з 50 індикаторів, 5 нестандартних. Визначити ймовірність того, що серед вибраних навмання для перевірки 6 індикаторів два виявляться нестандартними.

3. При збільшенні напруги в два рази може відбутися розрив електричного ланцюга, в наслідок виходу зі строю одного з 3 послідовно з’єднаних елементів відповідно з ймовірністями 0,3; 0,4; 0,5. Визначити ймовірність того, що не відбудеться розрив ланцюга.

4. Ділянка електричного ланцюга має вигляд:

А

С

В

Ймовірність виходу зі строю кожного з елементів А, В, С відповідно дорівнює Р(А)=0,3; Р(В)=0,2; Р(С)=0,1. Знайти ймовірність розриву ланцюга.

5. Мікросхема, що поставлена в телевізор, може належати до однієї з трьох партій з ймовірностями Р(А)=0,25; Р(В)=0,5; Р(С)=0,1. Ймовірність того, що мікросхема пропрацює певну кількість годин, для цих партій відповідно дорівнює 0,9; 0,8; 0,85. Визначити ймовірність того, що мікросхема пропрацює задану кількість годин.

6. Прилад, працюючий у продовж часу t, складається з трьох вузлів, кожен з яких незалежний від інших, може упродовж часу t відмовити. Відмова кожного з вузлів призводить до відмови приладу у цілому. Ймовірність безвідмовної роботи першого вузла дорівнює 0,7; другого – 0,8; третього – 0,9. Знайти ймовірність безвідмовної роботи приладу у цілому.

7. Для сигналізації про те, що режим роботи автоматичної лінії відхиляється від нормального, використовується індикатор. Він може належати з ймовірностями 0,2; 0,3; 0,5 до одного з трьох типів, для яких ймовірність спрацьовування при порушені режиму дорівнює відповідно 1; 0,75; 0,4. Від індикатора одержано сигнал. До якого типу ймовірніше за все належить індикатор?

8. Яка ймовірність того, що вибраний навмання телевізор виявиться першосортним, якщо відомо що 3% цієї продукції складають нестандартні телевізори, а 75% стандартних телевізорів задовольняють вимогам першого сорту?

9. Три дослідники незалежно один від одного роблять вимірювання напруги у електричному ланцюгу. Ймовірність того, що перший дослідник припуститься помилки при зніманні показань вольтметру дорівнює 0,1. Для другого і третього дослідників ця ймовірність відповідно дорівнює 0,15 та 0,2. Знайти ймовірність того, що при однократному вимірюванні тільки один дослідник припуститься помилки.

10. У телевізорів застосовано 6 мікросхем типу А і 8 мікросхем типу В. Знайти ймовірність того, що серед 3 зіпсованих мікросхем 2 будуть типу А.

11. Перший світлофор вмикає червоне світло на 20 сек. у продовж хвилинного циклу, а другий на 30 сек. Знайти ймовірність того, що автомобіль зупиниться тільки у одного світлофора.

12. У обчислювальній лабораторії знаходиться 6 клавішних автоматів і 4 напівавтомати. Ймовірність того, що впродовж виконання розрахунку автомат не вийде зі строю, дорівнює 0,95; для напівавтомата ця ймовірність дорівнює 0,8. Студент робить розрахунки на машині, що її взяли навмання. Знайти ймовірність того, що до закінчення розрахунку машина не вийде зі строю.

13. Два з 3, незалежно працюючих транзисторів, обчислювального приладу відмовили. Знайти ймовірність того, що відмовив перший транзистор, якщо ймовірність відмови 1-го, 2-го, 3-го транзисторів відповідно дорівнює Р(А)=0,2; Р(В)=0,1; Р(С)=0,15.

14. У партії 10 регістрів знаходиться 8 стандартних. Навмання вибрано 3 регістра. Знайти ймовірність того, що 2 з них стандартні.

15. Ймовірність того, що у продовж роботи цифрової електронної машини виникли збої у арифметичному приладі, у оперативній пам’яті, в решті приладів відносяться як 3:2:5. Ймовірності виявлення збою у арифметичному приладі, у оперативній пам’яті, в решті приладів відповідно дорівнює 0,8; 0,9; 09. Збій, що виникнув у машині було виявлено. Знайти ймовірність того, що збій виник у оперативній пам’яті .

1 6. Електричний ланцюг між точками М і N з’єднано за схемою

Л(1)

М

К2

К1

Л(2)

Різні елементи ланцюга виходять зі строю незалежно один від одного, ймовірності виходу елемента за строю упродовж часу Т такі:

Елемент	К1	К2	Л(1)	Л(2)
Ймовірності	0,1	0,2	0,4	0,5

Визначити ймовірність перерви живлення за вказаний проміжок часу.

17. При масовому виробництві напівпровідникових діодів ймовірність браку при формовці дорівнює 0,1. Яка ймовірність того, що з 400 навмання узятих діодів 50 будуть браковані.

18. Ймовірність виходу зі строю впродовж часу Т одного з конденсаторів дорівнює 0,2. Визначити ймовірність того, що з 100 конденсаторів упродовж часу Т вийде зі строю не менш 30 конденсаторів.

19. Ймовірність виходу зі строю впродовж часу Т одного з конденсаторів дорівнює 0,2. Визначити ймовірність того, що з 100 конденсаторів упродовж часу Т вийде зі строю не більш 20 конденсаторів.

20. Ймовірність виходу зі строю впродовж часу Т одного з конденсаторів дорівнює 0,2. Визначити ймовірність того, що з 100 конденсаторів упродовж часу Т вийде зі строю 15 конденсаторів.

21. При виробництві тріодів ймовірність браку дорівнює 0,1. Яка ймовірність, що з 5 навмання узятих тріодів 3 будуть браковані.

22. Електростанція обслуговує мережу з 1000 ламп, ймовірність включення кожної з яких увечері дорівнює 0,6. Визначити ймовірність, що увімкненими будуть більше 600 ламп.

23. Електростанція обслуговує мережу з 1000 ламп, ймовірність включення кожної з яких увечері дорівнює 0,6. Визначити ймовірність того, що число одночасно увімкнених ламп буде знаходиться між 5900 і 6100.

2

N

4. Маємо 100 електроприладів, працюючих незалежно один від одного у однаковому режимі, при якому вони були увімкнені упродовж 0,8 всього робочого часу. Яка ймовірність того, що у довільно узятий момент часу будуть увімкнені 86 електроприладів.

25. Маємо 100 електроприладів, працюючих незалежно один від одного у однаковому режимі, при якому вони були увімкнені упродовж 0,8 всього робочого часу. Яка ймовірність того, що у довільно узятий момент часу будуть увімкнені менш ніж 86 електроприладів.

26. Маємо 100 електроприладів, працюючих незалежно один від одного у однаковому режимі, при якому вони були увімкнені упродовж 0,8 всього робочого часу. Яка ймовірність того, що у довільно узятий момент часу будуть увімкнені більш ніж 86 електроприладів.

27. Ймовірність приймання сигналу дорівнює . Визначити, якою має бути загальна кількість прийнятих сигналів, щоб частота приймання цього сигналу відрізнялась від ймовірності його приймання не більш, ніж 0,13 з надійністю 0,95.

28. Серед транзисторів, виготовлених робітниками 3% нестандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 транзисторів 2 будуть нестандартні.

29. Серед транзисторів, виготовлених робітниками 3% нестандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 транзисторів менш ніж 2 будуть нестандартні.

30. По каналу зв’язку передаються повідомлення, з допомогою коду, що складається з двох знаків А і В. Ймовірність виникнення знаку А дорівнює 2/3. Яка ймовірність того, що з 4 переданих знаків 3 будуть знаки А.

Задача 2.4.

1. Студент знає 46 з 60 запитань програми. Кожний екзаменаційних білет містить 3 запитання. Знайти ймовірність того, що студент знає:

а) всі три запитання;

б) тільки два запитання;

в) тільки одне запитання екзаменаційного квитка.

2. В кожній з двох урн знаходяться 5 білих та 10 чорних кульок. З першої урни переклали у другу навмання 1 кульку, а потім з другої урни вийняли наугад 1 кульку. Знайти ймовірність того, що вийнята кулька виявиться чорною.

3. Три стрільця в однакових та незалежних умовах зробили по одному пострілу по одній і тій самій цілі. Ймовірність влучення у ціль першим стрільцем дорівнює 0,9, другим – 0,8, третім – 0,7. Знайти ймовірність того, що: 1) в ціль зроблено всі три влучення; 2) в ціль зроблено тільки два влучення; 3) тільки одне влучення.

4. Ймовірність, що подія відбудеться у кожному з однакових та незалежних випробувань, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що 1600 випробувань подія відбудеться 1200 разів.

5. Для сигналізації про аварію встановлено 3 незалежно працюючих прилади. Ймовірність того, що при аварії спрацює перший прилад, дорівнює 0,9, другий – 0,95, третій – 0,85. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацюють:

а) тільки один прилад;

б) тільки два прилади;

в) усі три прилади.

6. Ймовірність настання події у кожному із однакових та незалежних дослідів дорівнює 0,02. Знайти ймовірність того, що в 150 дослідах подія настане 5 раз.

7. В партії з 1000 виробів є десять дефектних. Знайти ймовірність того, що серед 50 виробів взятих навмання з цієї партії 3 будуть дефектні.

8. Ймовірність настання події у кожному із однакових та незалежних дослідів дорівнює 0,08. Знайти ймовірність того, що в 125 дослідах подія наступит не менш ніж 75 і не більш, ніж 90 разів.

9. На трьох пристроях при однакових і незалежних умовах виготовляються вироби однієї назви. На першому пристроі виготовляють 10%, на другому – 30%, на третьому – 60% усіх виробів. Ймовірність кожного з виробів бути бездефектним дорівнює 0,7 – якщо він виробляється на першому пристрої, 0,8 – якщо на другому пристрої, 0,9 – якщо на третьому пристрої. Знайти ймовірність того, що наугад узятий виріб виявиться бездефектним.

10. Два брати належать до складу двох спортивних команд, в кожну з яких входять по 12 чоловік. У двох урнах знаходиться по 12 квитків з номерами від 1 до 12. Члени кожної команди виймають навмання по одному квитку із визначеної урни. Знайти ймовірність того, що обидва брати візьмуть квиток номер 6.

11. З трьох гармат зробили постріли в ціль. Ймовірність попадання в ціль одним пострілом з першої гармати дорівнює 0,8; для другої та третьої гармат ці ймовірності дорівнюють відповідно 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що:

а) тільки один снаряд влучить у ціль;

б) рівно два снаряда влучать у ціль;

в) усі три снаряда влучать у ціль;

г) хоча б один снаряд влучить у ціль.

12. Три стрільця в однакових та незалежних умовах зробили по одному пострілу по одній і тій самій цілі. Ймовірність влучення у ціль першим стрільцем дорівнює 0,6, другим – 0,7, третім – 0,9. Знайти ймовірність того, що:

а) тільки один із стрільців влучив у ціль;

б) тільки два влучили у ціль;

в) всі три стрільці влучили у ціль;

г) хоча б один стрілець влучить у ціль.

13. Студент знає 50 з 60 запитань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає 2 запитання свого екзаменаційного билета.

14. Дві команди по 10 спортсменів проводять жеребкування для присвоювання номерів учасникам змагань. Двоє братів належать до складу різних команд. Знайти ймовірність того, що обидва брати будуть брати участь у змаганні під номером 5.

15. Два стрільці зробили по одному пострілу по мішені. Ймовірність влучення у мішень кожним з них дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що:

а) обидва стрільці влучать у мішень;

б) обидва стрільці не влучать;

в) тільки один стрілець влучить.

16. Ймовірність хоча б одного влучення при двох пострілах дорівнює 0,96. Знайти ймовірність трьох влучень при чотирьох пострілах.

17. Експедиція видавництва відправила газети у два поштових відділення. Ймовірність вчасної доставки газет в кожне відділення пошти дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що:

а) обидва поштових відділення отримають газети вчасно;

б) обидва поштових відділення отримають газети з запізненням;

в) тільки одне поштове відділення отримає газети вчасно;

г) хоча б одне відділення отримає газети вчасно.

18. В кожній з двох урн знаходяться 8 білих та 2 чорних кульки. З першої урни переклали у другу навмання 1 кульку, а потім з другої урни вийняли навмання 1 кульку. Знайти ймовірність того, що вийнята кулька виявиться білою.

19. Два контролери перевірили по однаковому комплекту виробів. Ймовірність того, що перший контролер помилиться дорівнює 0,05; для другого контролера ця ймовірність дорівнює 0,01. При перевірці виробів було знайдено помилку. Знайти ймовірність того, що помилився перший контролер.

20. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що у 100 випробуваннях подія з’явиться не менш ніж 70 і не більш ніж 80 разів.

21. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що подія наступить 20 разів в 100 випробуваннях.

22. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія наступить 120 разів в 144 випробуваннях.

23. В кожній з двох урн знаходяться 6 білих та 4 чорні кульки. З другої урни переклали у першу навмання 1 кульку, а потім з першої урни вийняли навмання 1 кульку. Знайти ймовірність того, що вийнята кулька виявиться білою.

24. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,8. Скільки потрібно провести випробувань, щоб з ймовірністю 0,95 можливо було очікувати відхилення відносної частоти з’явлення події від її ймовірності не більш ніж на 0,02?

25. Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Проведено 900 випробувань. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності не більш ніж на 0,4.

26. Середня кількість літаків, які прибувають в аеропорт за 1 хвилину дорівнює 2. Знайти ймовірність того, що за 3 хвилини прибудуть:

а) 2 літаки;

б) менш ніж 2 літаки;

в) не менш ніж 2-х літаків. В припущенні що потік літаків найпростіший.

27.Середня кількість заявок, що поступають на підприємство побутового обслуговування за одну годину дорівнює 3. Знайти ймовірність того, що за 2 години поступить:

а) 4 заявки;

б) менш ніж 3 заявки;

в) не менш ніж 3 заявки. В припущенні що потік заявок найпростіший.

28. Середня кількість кораблів, які заходять у порт за 1 годину дорівнює 2. Знайти ймовірність того, що за 4 години в порт зайдуть:

а) 5 кораблів;

б) менш ніж 5 кораблів;

в) не менш 5 кораблів.

29. Середня кількість викликів на АТС за 1 хвилину дорівнює 2. Знайти ймовірність того, що за 3 хвилини поступить:

а) 3 виклики;

б) не менш ніж 3 виклики;

в) менш ніж 3 виклики. В припущенні, що потік викликів найпростіший.

30. Середня кількість викликів на АТС за 1 хвилину дорівнює 2. Знайти ймовірність того, що за 4 хвилини потрапить:

а) 3 виклики;

б) не менш ніж 3 виклики;

в) менш ніж 3 виклики. В припущенні, що потік викликів найпростіший.

Задача 2.5. Пристрій складається із трьох незалежних елементів, які працюють протягом часу T безвідмовно з відповідними ймовірностями , , . Знайти ймовірність того, що за час T вийде з ладу:

а) тільки один елемент;

б) хоч би один елемент.

Значення параметрів обчислити за формулами:

, , , , де V – номер варіанта.

Задача 2.6. У першій урні k білих і l чорних кульок, а у другій урні m білих і n чорних кульок. Із першої урни навмання виймають r кульок, а із другої – s кульок. Знайти ймовірність того, що серед вийнятих кульок:

а) всі кульки одного кольору;

б) тільки три білих кульки;

в) хоч би одна біла кулька.

Значення k, l, m, n, r, s за варіантами подані у таблиці.

Варіант	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
K	6	5	4	7	5	5	5	5	6	6	6
L	4	5	5	3	4	6	7	8	3	5	6
M	5	4	5	6	7	7	6	7	5	5	5
N	7	8	8	3	4	3	4	5	6	3	5
r	3	2	2	3	1	3	2	4	3	2	4
s	2	2	3	1	4	2	2	1	3	2	1

Варіант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
k	6	3	3	3	3	3	5	4	4	4
l	7	8	7	6	5	4	3	9	8	7
m	5	5	6	6	6	6	4	7	7	8
n	4	7	4	5	6	7	9	3	4	3
r	2	2	3	1	4	2	2	3	2	4
s	3	3	3	4	1	2	3	3	3	1

Варіант	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
k	4	4	4	4	7	7	7	7	7	7
l	6	5	4	3	2	4	5	6	7	8
m	7	7	7	7	4	8	4	4	4	8
n	5	6	7	8	8	5	6	7	4	5
r	2	3	3	1	4	3	2	3	1	3
s	2	2	3	4	1	3	2	2	4	3

Задача 2.7. У ящику r деталей, кожна з яких виготовлена за одним із двох видів технологій, причому l із них – за І-м видом, решта за II-м видом технологій. Ймовірність витримати стендові випробування для деталей кожного з видів технологій відповідно дорівнюють і . Знайти ймовірність того, що випадково взята із ящика деталь витримає стендові випробування. Значення параметрів знайти за формулами:

Задача 2.8. У монтажному цеху до пристрою приєднується електродвигун. Електродвигуни постачаються трьома заводами – виробниками. На складі є електродвигуни з цих заводів відповідно у кількостях М₁, М₂, і М₃ штук, які можуть безвідмовно працювати до кінця гарантійного терміну з ймовірностями відповідно і . Робітник бере випадково один електродвигун і монтує його до пристрою. Знайти ймовірність того, що змонтований і працюючий безвідмовно до кінця гарантійного терміну електродвигун поставлений відповідно першим, другим або третім заводом – виробником. Значення параметрів обчислюються за такими формулами:

Задача 2.9. Ймовірність виходу зі строю екскаватора у продовж зміни . На добувній дільниці кар’єру працює N екскаваторів. Яка ймовірність того, що К з них пропрацює зміну без аварії.

Значення p, N, К наведені нижче у таблиці:

№ вар.	p	N	К	№ вар.	p	N	К
1	0,1	5	3	17	0,19	8	2
2	0,1	8	4	18	0,26	7	4
3	0,15	6	3	19	0,3	10	6
4	0,2	5	4	20	0,33	9	7
5	0,25	6	4	21	0,25	10	3
6	0,3	8	5	22	0,4	6	1
7	0,31	8	4	23	0,36	5	1
8	0,3	7	3	24	0,2	8	4
9	0,25	6	1	25	0,31	7	2
10	0,18	5	2	26	0,32	10	5
11	0,23	8	4	27	0,37	9	3
12	0,28	9	7	28	0,39	6	2
13	0,3	10	5	29	0,29	5	3
14	0,25	8	6	30	0,4	10	1
15	0,31	9	4	31	0,3	7	5
16	0,32	7	3

Задача 2.10. Змінна продуктивність бурового станка в кар’єрі розподілена за нормальним законом з параметрами а і . На буровій дільниці працюють n станків. Визначити ймовірність того, що змінна продуктивність бурової дільниці не відрізняється від змінного завдання П більше, ніж на . Значення а, , П, n,  подані у таблиці.

№ варіанта	а		n		П
1	30	5	7	50	210
2	31	6	8	60	250
3	34	8	9	70	300
4	36	7	8	60	280
5	35	8	9	80	320
6	40	9	10	90	400
7	38	8	8	70	300
8	42	6	10	70	420
9	40	8	11	80	440
10	39	6	12	90	460
11	37	10	11	75	400
12	40	11	13	95	520
13	43	10	12	90	516
14	45	9	13	100	585
15	41	8	12	98	570
16	18	10	13	105	624
17	46	9	12	98	552
18	47	10	12	100	516
19	50	11	14	105	550
20	52	12	13	100	620
21	54	10	12	110	648
22	55	9	14	120	770
23	55	10	13	110	715
24	60	8	12	105	720
25	62	9	14	115	868
26	64	10	15	120	960
27	68	11	16	120	1080
28	69	8	14	125	960
29	66	12	18	140	1188
30	70	12	20	150	1400

Задача 2.11. Серед N деталей М якісних. Вибрали N₁ деталей. Знайти:

1. Ймовірність того, що серед вибраних деталей М₁ неякісних;

2. Розподіл випадкової величини Х – числа якісних деталей серед вибраних;

3. Знайти і -математичне сподівання та дисперсію.

№ варіанта	N	M	N1	M1
1	15	6	7	4
2	16	8	8	5
3	12	4	5	3
4	17	8	9	6
5	16	6	7	5
6	15	5	7	3
7	14	7	8	4
8	18	9	8	5
9	17	9	6	3
10	17	10	8	4
11	15	9	7	4
12	14	6	9	3
13	20	11	10	6
14	18	9	10	5
15	11	6	7	4
16	11	5	7	3
17	12	5	6	3
18	13	7	8	4
19	13	6	8	5
20	14	8	9	6
21	18	7	6	4
22	19	10	9	6
23	18	10	7	6
24	16	5	5	4
25	17	6	7	5
26	16	7	8	6
27	14	5	4	3
28	15	7	6	5
29	18	11	8	6
30	19	11	7	5

Задача 2.12. Знайти ймовірність попадання у заданий інтервал (, ) нормально розподіленої випадкової величини Х, якщо відоме її математичне сподівання а і середнє квадратичне відхилення 

№ варіанта			а		№ варіанта			а	
0	2	10	8	4	16	1	12	5	2
1	2	13	10	4	17	4	8	7	2
2	5	14	9	5	18	5	16	10	3
3	4	9	8	1	19	3	13	8	2
4	3	10	7	2	20	7	17	10	3
5	2	11	6	3	21	7	14	12	2
6	1	12	5	1	22	1	10	6	2
7	2	11	4	5	23	2	15	8	4
8	3	10	3	2	24	8	15	10	2
9	4	9	2	5	25	9	20	10	3
10	6	10	2	4	26	8	17	12	5
11	7	9	2	3	27	4	9	5	3
12	3	10	3	5	28	7	10	9	2
13	4	8	3	3	29	6	11	11	2
14	3	12	5	4	30	4	9	8	1
15	2	10	7	1

Задача 2.13. Випадкову величину Х задано функцією розподілу (інтегральною функцією) F(x). Знайти щільність ймовірності, математичне сподівання, дисперсію. Побудувати графіки інтегральної і диференціальної функції. Знайти

Задача 2.14. Проводиться n незалежних випробувань. Ймовірність виникнення події в кожному випробуванні одна й таж і дорівнює р. Потрібно знайти ймовірність того, що подія з’явиться в цих випробуваннях:

1. точно k₂ раз;

2. не менш k₁ і не більш k₂ раз.

Значення n, p, k₁, k₂ задані за варіантами 1-30.

№Вар.	n	p	k1	k2	№Вар.	n	p	k1	k2
1	2500	0,8	1960	2030	16	7500	0,75	5550	5700
2	100	0,2	18	28	17	900	0,8	708	764
3	300	0,25	60	90	18	400	0,2	72	104
4	600	0,6	324	390	19	625	0,8	455	525
5	2500	0,5	1200	1270	20	100	0,009	1	4
6	1600	0,2	300	360	21	500	0,001	2	4
7	2400	0,4	924	996	22	250	0,004	2	4
8	7500	0,25	1725	1950	23	150	0,006	1	3
9	100	0,8	78	86	24	200	0,005	1	3
10	900	0,2	162	210	25	300	0,01	4	6
11	300	0,75	195	210	26	600	0,005	3	5
12	2500	0,2	430	530	27	800	0,001	1	3
13	600	0,4	216	270	28	100	0,003	0	2
14	1600	0,8	1240	1312	29	400	0,5	184	232
15	2400	0,6	1404	1472	30	625	0,2	95	130

Задача 2.15. Дискретна випадкова величина Х приймає тільки два значення: х₁ і х₂, причому х₁<х₂. Відомо: Р(Х=х₁)=р₁ – ймовірність того, що Х набуде значення, рівне ; математичне сподівання М(Х)=М и дисперсія D(Х)=D. Потрібно знайти закон розподілу випадкової величини Х. Зробити перевірку розв’язку задачі. З цією метою за знайденим законом розподілу випадкової величини Х підрахувати М(Х) і D(Х).

№ вар.	p1	М		№ вар.	p1	М
1	0,5	1,7	0,49	16	0,6	1,25	0,375
2	0,25	5	3	17	0,7	2,2	3,36
3	0,8	2,4	0,64	18	0,4	6	24
4	0,75	1,2	0,12	19	0,6	2	1,5
5	0,7	2,6	0,84	20	0,2	1,3	0,16
6	0,6	0,7	0,06	21	0,4	4	6
7	0,75	-2	3	22	0,7	1,9	1,89
8	0,8	0,9	0,64	23	0,5	1,2	0,64
9	0,7	-0,6	0,84	24	0,3	1	0,21
10	0,4	2,5	1,5	25	0,6	3	6
11	0,6	1,5	1,5	26	0,25	8	3
12	0,8	0,7	0,16	27	0,3	2	21
13	0,4	1,3	0,06	28	0,8	5	16
14	0,7	-0,1	1,89	29	0,9	9	1
15	0,2	1,1	0,64	30	0,6	0,5	1/6

Задача 2.16. Випадкова величина Х задана диференціальною функцією розподілу f(x). Знайти інтегральну функцію F(x), математичне сподівання і дисперсію. Побудувати графіки інтегральної і диференціальної функції. Знайти