Тема 3.5.Статическн определимые плоские рамы

Общие сведения о рамных конструкциях. Типы рам: однопролетные, многопролетные, одноярусные (одноэтажные), многоярусные (многоэтажные), составные и специального назначения. Анализ статической определимости рамных систем.

Построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил. Статическая проверка правильности построения эпюр.

Вопросы для самоконтроля

1.Назовите особенности рамных конструкций. 2.Каково различие в определении опорных реакций статически определимых рам, не имеющих промежуточных шарниров, и рам с промежуточными шарнирами? 3. Как определяются знаки поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил при расчете рам? 4.Как строятся эпюры Q_x, М_х и N для рам? 5.Как проверить правильность построения эпюр Q_x, М_х, и N для статически определимых рам?

Методические указания по изучению темы

Изучить общие сведения о рамных конструкциях, типы рам. Научиться строить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил, статически проверять правильность построения эпюр. Л-3,с.65;Л-5,с.332.

Тема 3.6. Понятие о расчете статически неопределимых систем

Преимущества и недостатки статически неопределимых систем. Исследование их геометрической структуры. Расчет статически неопределимых систем методом сил с использованием правила Верещагина.

Неразрезные балки. Анализ их геометрической структуры. Применение уравнения трех моментов для расчета неразрезных балок.

Методические указания по изучению темы

Изучить преимущества и недостатки статически неопределимых систем, исследование их геометрической структуры. Научиться рассчитывать статически неопределимых систем методом сил с использованием правила Верещагина, Изучить неразрезные балки и анализ их геометрической структуры.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие системы называют статически неопределимыми? 2. В чем их преимущества и в чем недостатки? 3. Как определяется степень статической неопределимости различного вида систем? 4. Каков смысл понятия «Лишние связи»? 5. В чем сущность расчета статически неопределимых систем методом сил? 6. Какую мысль выражает то или иное каноническое уравнение метода сил? 7. Как записывают канонические уравнения? 8. Какие требования предъявляются к выбору основной системы? 9. Какие способы, упрощающие расчет, можно применять к симметричной статически неопределимой раме и в чем их сущность? 10. В чем заключается упрощение в результате использования рациональной опорной системы? 11. Почему при деформационной проверке окончательной эпюры моментов путем её перемножения с любой из единичных эпюр должен получаться нуль? 12. В чем заключается расчет рам с помощью таблиц?

Л-3,с.218,с.261;Л-5,с.423.

Методические указания по выполнению домашней контрольной работы №1

Пример решения задачи №1

В задаче требуется определить силы в стержнях фермы аналитическим и графическим способами.

К решению можно приступать только после изучения тем «Основные понятия и аксиомы статики» и «Плоская система сходящихся сил».

Аналитический способ решения

При расчете миогостержневых конструкций (ферм) необходимо ввести обозначения стержней и узлов. Обычно стержни обозначают цифрами, узлы (места соединения двух или нескольких стержней) - буквами. Так на рис.4 узлы обозначены буквами А, В, С, D, Е; стержни цифрами - 1,2,3,4,5,6,7. Порядок обозначения стержней и узлов может быть произвольным. Определение сил в многостержневых конструкциях производится последовательным вырезанием узлов. Рассматривая узел как систему сходящихся сил, пользуясь уравнениями равновесия этой системы , , необходимо помнить, что, решая эти уравнения, можно определить только две неизвестные силы. Это условие определяет порядок вырезания узлов. Первым рассматривается узел, в котором сходятся два стержня. Таким на рис.4 является узел С. Прежде чем приступить к расчетам, конструкцию необходимо представить в виде расчетной схемы.

Рис.4

Покажем расчетную схему узла С на отдельном рисунке (рис.5). Она должна быть вычерчена аккуратно и четко с нанесёнными на неё силами, с указанием углов. Изображенная на рис.5 расчетная схема узла С получена следующим образом.

Вырезаем узел С, для чего мысленно отбрасываем связи, заменив действие стержней реакциями R₁ и R₂ .Реакция стержня направлена по его оси. Приложим к узлу С действующие на него силы F₁, R₁ и R₂. Из них: F₁ - активная сила, внешняя нагрузка, известная по модулю и направлению;

R₁ и R₂- численно неизвестные реакции связей, направленные вдоль стержней, но пока неизвестно в какую сторону.

При расчетах ферм принято предполагать, что стержень растянут, в таком случае реакция направлена от рассматриваемой точки. Если же в результате решения та или иная из них получится отрицательной, то это значит, что предположенное направление данной реакции неправильное и, следовательно, стержень не растянут, а сжат. Для равновесия узла необходимо, чтобы алгебраическая сумма проекций всех приложенных к нему сил на любые две непараллельные оси порознь равнялись нулю.

Напоминаем, что проекция силы на ось равна взятому с соответствующим знаком произведению силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью проекций.

Направим ось X по реакции R₁, а ось Y - перпендикулярно ей. Такое положение осей позволяет получить одно из уравнений равновесия с одним неизвестным, что облегчит решение полученной системы уравнений. Прежде чем составить уравнение равновесия, нужно нанести на расчетную схему все необходимые для проецирования углы.

Угол а между реакциями R₁ и R₂ находим, исходя из геометрических размеров заданной конструкции (рис.4 а).

Рис.5 Рис.6

Из АКС следует: tg =АК/КС =0.5/4 = 0.125 и .

Из ВКС следует: tg = ВК/КС=3/4= 0.75 и .

Таким образом угол .

Угол между F₁ и осью Y равен углу как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Составим уравнения равновесия системы сил, сходящихся в узле С:

- R₁ - R₂cos 30° - F₁cos 83° = 0

- F₁cos 7°- R₂cos 60° =0

Из второго уравнения определяем R₂ = - F₁cos 7⁰/cos 60⁰ = -10 * 0.99/0.5 = -19.8 кН.

Из первого уравнения определяем R₁ = - R₂cos 30° - F₁cos 83° = -(-19.8) * 0.87 – 10 * 0.12 = 16 кН.

Знак минус у значения R₂ показывает, что на самом деле стержень 2 сжат силой 19.8 кН.

Силы в стержнях соответственно равны N₁= R₁=16 кН (растяжение),

N₂=R₂=19.8 кН (сжатие).

Для определения сил в стержнях 3 и 4 вырезаем узел D. Расчетная схема узла D изображена на рис.6. Направление неизвестных реакций R₃ и R₄ принимаем от узла, считаем, что стержни растянуты. Силу R₂ =19.8 кН направляем к узлу, так как из предыдущего расчета известно, что стержень 2 сжат. Направим осьX по реакции R₄ , ось Y- перпендикулярно ей.

Угол между горизонтом и направлением силы R₄ равен =37° (см. рис.4 а). Угол, образуемый осью Y и силой R₃, - также 37°. Рассматривая узел в состоянии равновесия, составим уравнение проекций всех действующих сил на оси:

-R₄ - R₂ + R₃cos 53° = 0

R₃cos37°=0

Из второго уравнения R₃ =0, Из первого уравнения R₄ = - R₂ = - 19.8 кН

В результате N₃= R₃=0 (стержень не работает), N₄= R₄=19.8 кН (стержень сжат).

Графический способ решения

Определим этим способом силы в стержнях 1 и 2. Из трех сил, действующих на узел С, известна сила F₁ по модулю и направлению. Выбираем масштаб сил, например 5кН в одном сантиметре и строим силовой многоугольник (рис.4б). Из произвольной точки а в принятом масштабе откладываем отрезок ab, равный силе F₁=10 кН. Из начала и конца отрезка ab проводим прямые, параллельные стержням 1 и 2, до их пересечения в точке с. Получаем замкнутый силовой треугольник abc, в котором вектор ab = F₁ вектор bс = R₂ и вектор са = R₁. Измерив длины сторон bс и (см) и умножив на масштаб 5 кН/см, находим силы в стержнях 1 и 2: N₁= R₁=16 кН, N₂= R₂=19.8 кН.

Мысленно перенеся направление найденных реакций на соответствующие стержни схемы конструкции, видим, что сила R₁ направлена от узла, а это значит, что стержень растянут; сила R₂ направлена к узлу и, следовательно, стержень сжат.

Пример решения задачи №2

Требуется определить значения опорных реакций балок двухопорной или жестко защемлённой.

Двухопорная балка (рис.7а)

Обозначим шарнирно-неподвижную опору А, шарнирно-подвижную В. Изобразим расчетную схему балки (рис.7б). Освобождаем балку от связей, заменив их действие на балку опорными вертикальными реакциями R_A и R_B, поскольку в данной задаче, кроме сосредоточенного момента, внешние нагрузки только вертикальные. Для удобства расчета равномерно распределённую нагрузку заменяем равнодействующей Q, которая равна произведению интенсивности q (kH/m) на длину участка её приложения, т.е.

Q = q * 1 = 10 * 3 = 30 кН. Линия действия равнодействующей проходит через середину участка, занятого равномерно распределённой нагрузкой.

На расчетной схеме балки (рис.7б) должны быть проставлены расстояния от сил до каждой из опор. Особое внимание обратите на расположение распределённой нагрузки на балках с консолями, чтобы избежать ошибок, возникающих при определении плеча силы Q. Значение сосредоточенного момента в любое уравнение равновесия входит с тем знаком, который ему приписывается с учетом направления действия.

Рис.7 Рис.8

Для двухопорных балочных систем при определении опорных реакций самыми рациональными являются уравнения моментов относительно опор А и В. Составим эти уравнения: = Q*b + M-R_B( b+c) + F (b+c+d) = 0;

R_B = (Q*b + M + F(b+c+d))/(b+c) = (30*1 + 5 + 15*4)/3 = 31,7 kH;

= R_A(b+c)-Q*c + M + F*d = 0;

R_А = (Q*c -M-F*d)/(b+c) = (30*2-5-15*l)/3 = 13,3 kH;

Так как определение реакций - первый этап расчета балки на изгиб, то его следует считать особенно ответственным. Поэтому во избежание ошибок при вычислении необходимо производить проверку найденных значений реакций.

Составим уравнение проекций всех сил на ось Y.

= R_A-Q + R_B- F = 13,3 - 30 + 31,7 - 15 = 45 - 45 = 0;

Если это равенство не удовлетворяется, следовательно, при определении опорных реакций была допущена ошибка.

Консольная балка (рис. 8а) балка с защемлённой опорой называется консолью. Защемляющая неподвижная опора лишает балку всех трех степеней свободы: линейных перемещений вдоль осей X и Y и возможности поворота в плоскости этих осей. Соответственно в защемлении появляются три неизвестные реакции: R_AХ и R_AУ и реактивный момент заделки М _А (рис.8а). Для их определения наиболее удобными являются следующие уравнения равновесия:

1. Уравнение моментов сил относительно точки заделки М _А= 0 -для определения реактивного момента М _А, так как силы R_AX и R_Ay , приложенные к точке А, в это уравнение не войдут ( их моменты относительно точки А равны нулю).

2. - для определения горизонтальной реакции R_AХ.

3. - для определения вертикальной реакции R_AУ.

По расчетной схеме балки (рис.86) составим уравнения равновесия

= -M_A + F*a + M + Q(a + b) = 0;

Отсюда М _А = F*а + М + Q ( а + Ь) = 8* 0,5 + 10 + 2*1,5 = 17 кНм.

Значит М _А> 0; следовательно, принятое направление момента правильное.

Из уравнения = R_АУ - F - Q = 0 находим R_AУ = F + Q = 8+2=10 кН.

Из уравнения следует, что R_AX = 0.

Для проверки решения удобно составить уравнение моментов относительно произвольно взятой точки, например В:

= - М _А + М + R_Ay*1 - F*(b + с) – Q*с = -17 + 10 + 10*2 – 8*1.5 – 2*0.5 = =-30+30=0.

Реакции вычислены правильно.

Пример решения задачи №3

Для решения данных задач необходимо изучить тему «Изгиб прямого бруса», научиться быстро и безошибочно строить эпюры поперечных сил Q_x и изгибающих моментов М_х.

Поперечная сила в рассматриваемом сечении численно равна алгебраической сумме проекций на ось, перпендикулярную оси балки всех сил, действующих по одну сторону от этого сечения. Если при определении поперечной силы рассматривается левая отсеченная часть балки, то внешние силы, направленные вверх, надо принимать со знаком плюс, а вниз - со знаком минус, при рассмотрении же правой отсеченной части - наоборот. Для построения эпюры Q_x проводят нулевую линию под изображением балки. Тогда каждому сечению балки соответствует определённая точка этой линии. Положительные значения поперечных сил откладываются в принятом масштабе перпендикулярно нулевой линии вверх от неё, отрицательные - вниз. В сечениях с сосредоточенно приложенной силой на эпюре Q_x возникает скачок (два значения - слева и справа от сечения), по абсолютному значению равный сосредоточенной силе.

Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести данного сечения. Моменты, вызывающие растяжение нижних волокон, считаются положительными, а верхних -отрицательными. Из этого правила знаков вытекает, что если моменты внешних сил стремятся повернуть левую отсеченную часть балки относительно центра рассматриваемого сечения по часовой стрелке, то эти моменты надо брать со знаком плюс, а против часовой стрелки - со знаком минус; при рассмотрении же правой части - наоборот.

При построении эпюры М у строителей принято: ординаты, выражающие в определенном масштабе значения изгибающих моментов, откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. положительные - вниз, а отрицательные - вверх от оси балки. Два значения изгибающего момента появляются в сечениях, где приложен сосредоточенный момент (пара сил). На эпюре соответственно возникает скачок, равный сосредоточенному моменту.

Большое внимание должно быть уделено изучению дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределённой нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом, а также следствий, вытекающих из этих зависимостей, которые используют как при построении эпюр Q и М, так и для проверки уже построенных эпюр. Построенные эпюры Q и М заштриховываются прямыми линиями, перпендикулярными нулевой линии. Каждый штрих таким образом характеризует значение внутреннего силового фактора Q_x или М_х, действующих в данном сечении балки. Знак на эпюре Q_x ставится всегда, а на эпюре М_х знака можно не ставить, так как она всегда строится со стороны растянутых волокон.

Условие задачи: Построить эпюры внутренних силовых факторов Q_x и М_х для балок, изображенных на рис. 9 и рис.10.

Схемы балок берём из задачи №2 (см. рис.7 и 8), где определены опорные реакции и выполнена проверка правильности их определения (первая стадия расчета балочных систем). На втором этапе выполняется построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Основываясь на расчете, выполненном в предыдущей задаче, решение данной задачи следует начинать сразу со второго этапа.

Решение: Построение эпюры Qx..

Из теоретического курса известно, что на участке балки с равномерно распределённой нагрузкой эпюра Q_x ограничивается наклонной прямой, а на участке, на котором нет распределённой нагрузки, - прямой, параллельной оси, поэтому для построения эпюры поперечных сил достаточно определить значения Q_x в начале и конце каждого участка. В сечении, соответствующем точке приложения сосредоточенной силы, поперечная сила должна быть вычислена чуть левее этой точки (на бесконечно близком расстоянии от неё) и чуть правее её; поперечные силы в таких местах обозначаются соответственно .

Рис.9 Рис.10

Проведем мысленно ось Y перпендикулярно оси балки через точку С и не будем менять её положение, пока не пройдем всю балку от С до Е. рассматривая левые отсечённые по характерным точкам части балки, проецируем на ось Y действующие на данном участке силы с соответствующими знаками. В результате получаем:

Qc = 0;

=-q*a = -10*0.5 =-5 kH;

= + R_AY = - 5 + 13.3 = 8.3 kH;

Q_D = R_AY - q ( а + b ) = 13.3 - 10 (0.5 + 2.5 ) = - 16.7 kH;

= Q_D = R_AY-Q = -16.7 kH;

= + R_BY = -16.7 + 31.7 = 15 kH;

₌ = 15 kH.

Для проверки правильности определения поперечной силы в сечениях, пройдите балку аналогичным способом , но с правого конца. Тогда отсечёнными будут правые части балки. Помните, что правило знаков при этом изменится. Результат должен получиться тот же.

Совпадение результатов может служить контролем построения эпюры Q. Проводим нулевую линию под изображением балки и от нее в принятом масштабе откладываем найденные значения поперечных сил с учетом знаков в соответствующих точках. Получим эпюру Qx (рис.9 б).

б) Для консольной балки (рис. 10а) характерные точки: А - точка приложения опорной реакции R_AY; С - точка приложения сосредоточенной силы, D и В - начало и конец распределенной нагрузки. Для консоли поперечная сила определяется аналогично двухопорной балке. Итак, при ходе слева:

= R_AY =10 kH;

= R_AY - F = 10 - 8 = 2 kH;

= Q_A = 10 kH;

= + R_AY = - 5 + 13.3 = 8.3 kH;

Q_D = =2 kH;

Q_B = Q_D – q*с = 2 - 2 = 0 kH.

Строим эпюру Q_x по полученным значениям поперечных сил (рис. 106). Построив эпюру обратите внимание на следующее: Эпюра под распределённой нагрузкой изображается наклонной прямой, под ненагруженными участками -отрезками, параллельными нулевой линии, под сосредоточенной силой на эпюре образуется скачок, равный значению силы. Если наклонная линия под распределённой нагрузкой пересекает нулевую линию, отметьте эту точку, она пригодится для эпюры изгибающих моментов. Сосредоточенный момент на эпюре Q_x себя никак не проявляет, так как сумма проекций сил, образующих пару, равна нулю.

Строим эпюру изгибающих моментов, как и поперечных сил, методом характерных точек, ходом слева.

Известно, что на участке балки с равномерно-распределённой нагрузкой эпюра изгибающих моментов очерчивается кривой линией (квадратичной параболой), для построения которой надо иметь не менее трех точек и, следовательно, должны быть вычислены значения изгибающих моментов в начале участка, конце его и в одном промежуточном сечении.

Такой промежуточной точкой лучше всего взять сечение , в котором эпюра Qx пересекает нулевую линию, т.е. где Q_x = 0. На эпюре М в этом сечении должна находиться вершина параболы. Если же эпюра Q_x не пересекает нулевую линию, то эпюру М можно строить по двум точкам (начала и конца действия распределённой нагрузки), помня, что выпуклостью парабола всегда обращена вниз, если нагрузка действует сверху вниз. Существует старое правило «дождя», которое очень помогает при построении параболической части эпюры М. Для строителей это правило выглядит следующим образом: представьте, что распределённая нагрузка - это дождь, подставьте под него зонт в перевёрнутом виде, так чтобы дождь не стекал, а собирался в нём. Тогда выпуклость зонта будет обращена вниз. Точно так и будет выглядеть очертание эпюры моментов под распределённой нагрузкой.

Если требуется более точное построение эпюры, то должны быть вычислены значения изгибающих моментов в нескольких промежуточных сечениях. Условимся для каждого такого участка изгибающий момент сначала определять в произвольном сечении, выражая его через расстояние х от какой-либо точки. Затем, давая расстоянию х ряд значений, получим значения изгибающих моментов в соответствующих сечениях участка. Для участков, на которых нет распределённой нагрузки, изгибающие моменты определяют в двух сечениях, соответствующих началу и концу участка, так как эпюра М на таких участках ограничивается прямой. Если к балке приложен внешний сосредоточенный момент, то обязательно надо вычислить изгибающий момент чуть левее места приложения сосредоточенного момента и чуть правее его.

Строим эпюру М_х методом характерных точек, ходом слева.

а) Для двухопорной балки характерные точки следующие: С и D - начало и конец распределённой нагрузки, А - опора балки, В - вторая опора балки и точка приложения сосредоточенного момента, Е - правый конец балки, точка К соответствующая сечению балки, в котором Q_x = 0.

Ход слева. Правую часть до рассматриваемого сечения мысленно отбрасываем (возьмите лист бумаги и прикройте им отброшенную часть балки). Находим сумму моментов всех сил, действующих слева от сечения относительно рассматриваемой точки.

Итак,

М_С = 0;

М_А = - q*а*а/2 = - 10*0,5*0,25 = -1,25 kH m;

Прежде чем определять момент в сечении К, необходимо найти расстояние х = АК. Составим выражение для поперечной силы в данном сечении и приравняем его нулю (ход слева).

Q_K = - q*а + R_AY – q*х = 0, откуда х = (- q*а + R_AY) / q = (- 10*0,5 + 13,3) /10 =

= 0,83 м.

Это расстояние можно найти из подобия треугольников KLN и K1G на эпюре Q_x (рис.9 б).

Определяем момент в точке К

М_к = - q (а + х)² /2 + R_AY х = 2,2 kH m;

M_D = R_AY b - Q(a + b)² /2 = - 11,7 kH m;

Пройдём оставшуюся часть балки ходом справа, учитывая при этом изменения в правиле знаков:

М_Е = 0;

= -F*d = -15 kH m;

= - М = - 20 kH m;

M_D = - F (c+d) - М + R_BY с = 11,7 kH m.

Как видим, момент в сечении D при ходе слева и справа получился одинаковый - эпюра замкнулась. По найденным значениям строим эпюру. Положительные значения откладываем вниз от нулевой линии, а отрицательные - вверх (рис.9в).

б) Для консольной балки (рис.10 а) эпюра изгибающих моментов строится аналогично предыдущему построению.

Характерные точки для этой балки следующие: А - опора; С - точка приложения сосредоточенного момента и силы F; D и В - начало и конец действия равномерно распределённой нагрузки. Поскольку эпюра Q_x на участке действия распределённой нагрузки нулевую линию не пересекает, эпюру моментов на данном участке можно строить по двум точкам D и В. Ход слева :

М_А= -М_А = - 17 kH m;

М_с^лев = - М_А + R_AY а = -12 kH m;

М_с^прав= - М_А + R_AY а + М = - 2 kH m;

M_D = - М_А + R_AY (а + b) + М – F*b = -1 kH m.

Ходом справа находим Мв = 0.

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов (рис. 13 в).

Пример решения задачи №4.

Перед тем как приступить к решению соответствующей задачи, следует изучить тему «Центр тяжести», твердо усвоить понятие статического момента, знать положение центров тяжести простейших геометрических фигур и уметь определять координаты центров тяжести сложных сечений, представляющих собой совокупность простейших геометрических фигур, а также сечений, составленных из стандартных профилей проката (в последнем случае необходимо уметь пользоваться таблицами ГОСТов), приведенными в приложениях 1-4. Знания и навыки по данной теме потребуются при изучении темы «Геометрические характеристики плоских сечений».

Определение координат центра тяжести сечения геометрической формы (рис.11)

Положение центра тяжести фигуры сложной формы можно определить, разбив фигуру на пять элементов простой формы, положения центров тяжести которых известны:

1- прямоугольник 25x30 см с центром тяжести C₁;

2- прямоугольник 55x10 см с центром тяжести С₂;

3- прямоугольник 25x45 см с центром тяжести С₃;

4- два треугольника с центрами тяжести С₄ и C₅.

Нанесем на сечение координатные оси. Ось Y совместим с осью симметрии сечения. Ось X проводим перпендикулярно Y по нижней грани сечения. Поскольку сечение симметрично относительно вертикальной оси и, следовательно, х_с = 0, потребуется определить только ординату Y _с центра тяжести по формуле у_с = S_x/A, где А - площадь сечения, S_x - статический момент сечения относительно оси X, определяется как сумма произведений площадей простых фигур на ординаты их центров тяжести.

Определяем площади составных частей фигуры и координаты их центров тяжести относительно выбранной оси, исходя из размеров сечения.

А₁ = 25x30 = 750 см²; у₁ = 70 см²;

А₂ = 55x10 = 550 см²; у₂ = 50 см²;

А₃ = 25x45 = 1125 см²; у₃ = 22.5 см²;

А₄ = А₅ = 15x45/2 = 337.5см²; у₄= у₅ = 30 см².

Находим статический момент площади сечения

S_x = А₁у₁ + А₂у₂ + А₃у₃ + А₄у₄ + А₅у₅ = 75050 + 55050 + 112532.5 + 33.730 + +33.730 = 125562.5 см²

Площадь сечения

А = А₁ + А₂ + А₃ + А₄ + А₅ = 750+550+1125+337,5+337,5=3100 см².

Находим ординату центра тяжести у_с= S_x/A= 125562,5 /3100 = 40,5 см.

Итак, точка С имеет координаты 0; 40.5.

По найденной ординате наносим на рисунок сечения точку С - центр тяжести. Разбивку рассмотренной фигуры по элементам можно было произвести иначе, как и положение оси Х могло быть другим.

Рис. 11 Рис. 12

Определение положения центра тяжести сечения, составленного из прокатных профилей (рис.12).

Простые элементы подобных сечений - стандартные профили прокатной стали: швеллер, двутавр, полоса, равнополочные и неравнополочные уголки.

Все необходимые размеры и характеристики профилей приведены в таблицах ГОСТа, называемых сортаментом прокатных профилей. Порядок решения тот же, что в предыдущей задаче.

Разбиваем сечение на шесть составных частей и обозначаем их центры тяжести . положение центра тяжести прокатного профиля принять по сортаменту

1 - двутавр № 20 с центром тяжести С₁;

2 - швеллер № 20 с центром тяжести С₂;

3 - два неравнополочных уголка № 8/5 с общим центром тяжести С₃;

4 - две полосы 12x200 мм с общим центром тяжести С₄.

Положение координатных осей принимаем следующим образом: ось X совмещаем с осью симметрии сечения, следовательно у_с = 0; ось Y проводим перпендикулярно оси X по наружной грани стенки швеллера. Необходимо определить лишь координату центра тяжести х_с по формуле х_с = S_y/A, где S_у - статический момент относительно оси Y, определяется аналогично S_x предыдущей задачи, с той лишь разницей, что в этом случае участвуют абсциссы х₁, х₂, х₃, х₄ центров тяжести прокатных профилей. Выписываем из соответствующих таблиц сортамента площади профилей и, используя размеры, находим абсциссы их центов тяжести:

A₁ = 26,8 см²; х₁ = 20 см;

А₂ = 23,4 см²; х₂ = z₀ = 2.07 см;

А₃ = 2*7,55 см²; х₃ = у₀ = - 2.65 см;

А₄ = А₅ = 2(1,2*20) = 48 см²; у₄ = 10 см.

Находим статический момент площади сечения

S_y = A₁x₁ + А₂х₂ + А₃х₃ + А₄х₄ = 26.8*20 + 23.4*2.07 + 15.1*( - 2.65) + 48*10 = 1024.42 см³

Площадь сечения А = А₁ + А₂ +А₃ + А₄ =26.8 + 23.4+ 15.1 + 48 = 113.3 см².

Находим координату центра тяжести х_с= S_y/A = 1024,42 /113,3 = 9,04 см.

Итак, точка С имеет координаты 9,04;0 .

Наносим найденный центр тяжести на рисунок сечения.

Пример решения задачи №5.

Цель задачи - проверка степени усвоения понятия геометрических характеристик поперечного сечения при изгибе и кручении. Перед решением задачи следует повторить из теоретической механики учебный материал, касающийся определения центра тяжести сечений, составленных из простейших геометрических фигур и сечений из прокатных профилей, определение статического момента площади сечения относительно произвольных осей координат.

Обращается внимание учащегося на различие геометрических характеристик поперечного сечения бруса при его растяжении (сжатии) и при изгибе или кручении. При растяжении (сжатии) площадь поперечного сечения бруса, являющаяся его геометрической характеристикой, полностью определяет сопротивление элемента растяжению (сжатию). Объясняется это тем, что при осевом растяжении или сжатии нормальные напряжения в сечениях центрально растянутого (сжатого) бруса распределяются равномерно. При неравномерном распределении напряжений по сечению бруса или балки, например при изгибе, на их деформирование влияет не площадь поперечного сечения, а его форма и, кроме того, положение осей поперечного сечения к направлению действия внешних сил.

Поэтому при расчете балок на изгиб в сопротивлении материалов возникает необходимость принять геометрические характеристики поперечного сечения элемента, называемые осевыми моментами инерции I_x и I_У.

Порядок решения задач на определение момента инерции сечения плоских фигур следующий:

1- Разбить данную фигуру на простые составные части (прямоугольники, круги, треугольники и т.д.). Если в состав фигуры входит стандартный профиль проката, то последний не разбивается на части; положение его центра тяжести и площадь определяется по сортаментным таблицам. Простыми элементами в этом случае будут: двутавр, швеллер, уголки, полоса. Если фигура имеет отверстие, то площади и моменты инерции этих отверстий считаются отрицательными.

2-Определить центр тяжести всей фигуры.

3-Через найденный центр тяжести сечения провести главные центральные оси. Для фигур, имеющих оси симметрии, главные оси совпадают с осями симметрии.

4-Через центры тяжести простых фигур провести собственные центральные оси инерции.

5-Определить расстояние между собственными главными осями каждой простой фигуры и главными центральными осями сечения в целом. Нанести эти расстояния а на чертёж.

6-Определить моменты инерции составных частей относительно собственных осей инерции и .

7- Определить моменты инерции сечения относительно главных центральных осей , используя формулу перехода на центральные оси: I = I° + а²А

Условие задачи: Найти главные центральные моменты инерции: а) геометрической фигуры и б)сечения, составленного из стандартных профилей проката.

Исходные данные из задачи № 4. Центры тяжести сечений должны быть найдены и нанесены на чертёж сечения. Таким образом, решение задачи №5 ведем с пункта 3 вышеприведённого описания.

Решение: Определение главных центральных моментов инерции геометрической фигуры (рис.13). На изображение заданного сечения, вычерченного в выбранном масштабе, наносим главные центральные оси. Ось Y совмещаем с осью симметрии, ось X проводим перпендикулярно ей через центр тяжести С всей фигуры.

Через центры тяжести С₁ С₂, С₃, С₄ простых фигур проводим собственные центральные оси инерции. Обозначим их соответственно , , , , . Собственные центральные оси , , совпадают с главной центральной осью.

Используя координаты центров тяжести частей фигуры, найденные при определении центра тяжести всей фигуры (см. рис.11), определим расстояния между главной центральной осьюXи каждой из осей :

a₁ = y₁ -y_с = 70-40,5 = 29,5 см;

а₂ = y₂ - y_с = 50 - 40,5 = 9,5 см;

a₃ = y_с – y₃ = 40,5 - 22,5 = 18 см;

а₄ = y_с - у₄ = 40,5 - 30 = 10,5 см.

Рис.13 Рис.14

Используя формулу перехода на параллельные оси, определяем

cm⁴.

Численные значения площадей отдельных фигур также из задачи 4.

cm⁴.

cm⁴.

= 150355.5 cm⁴

Момент инерции относительно главной центральной оси X определим, суммируя моменты инерции составных частей фигуры: I_Х = + + + = 1467858,5см⁴.

Момент инерции относительно главной центральной оси Y определяем следующим образом.

Поскольку у фигур 1,2,3 собственные центральные оси совпадают с главной центральной осью инерции, расстояние между осями равно нулю. Следовательно, главный центральный момент инерции каждой из этих фигур равен собственному моменту инерции:

cm⁴;

cm⁴;

cm⁴;

Для четвертой фигуры расстояние между вертикальными осями а.₄ = 17,5см (рис.13):

= 230156 cм⁴

получаем I_у = 466458 см .

Определение главных центральных моментов инерции сечения, составленного из стандартных профилей проката (рис.14).

В составном сечении через найденный центр тяжести С проводим главные центральные оси инерции X и Y. Ось X совмещена с осью симметрии сечения. Проводим собственные центральные оси инерции , , , , , каждой из составных частей.

Определим расстояние между собственными и главными центральными осями инерции, используя абсциссы центров тяжести частей сечения, найденные при определении положения центра тяжести всего сечения (см. рис 12):

а₁ = х₁ - х_с = 20 - 9,04 = 10,96 см;

а₂ = х_с - х₂ = 9,04 - 2,07 = 6,97 см;

а₃ = х_с + х₃ = 9,04 + 2,65 = 11,69 см;

а₄ = х₄ - х_с = 10 - 9,04 = 0,96 см;

а₅ ⁼ у₄ = l/2h швеллера №20 + l/2h листа = 10,6 см;

а₆ = у₃= 1,17 см.

Выпишем из таблиц сортамента моменты инерции I_xi° и I_уi° прокатных профилей относительно собственных осей и их площади:

Двутавр № 20 I_x1° = 1840 см⁴; I_y1° = 115 см⁴; А₁ = 26,8 см²

Швеллер № 20 1_х2° = 1520 см⁴; I_у2° = 113 см⁴; А₂ = 23,4 см²

Уголок 80x50x6 1_х3° = 14,8 см⁴; I_y3° = 49 см⁴; А₃ = 7,55 см²

Полоса 12x200 I_x4° = bh³ /12 = 20*1,2³ /12 = 2,88 см⁴ ;

1_у4° = hb³ /12 = 1,2*20³ /12 = 800 см⁴; А₄ = 24 см²

Для уголка значения моментов инерции I_х и I_у поменялись местами, так как ориентация уголка (см. рис. 14) не совпадает с его ориентацией в ГОСТе. При пользовании таблицами ГОСТов необходимо внимательно следить за правильностью выбора требуемых характеристик, ни в коем случае не основываясь на формальном совпадении индексов.

Определяем главный центральный момент инерции составного сечения относительно оси X:

I_Х =

= 1840+1520+2(14,8+1,17²*7,55)+2(2,88+10,6²*24) = 8895 см⁴.

Определяем главный центральный момент инерции составного сечения относительно оси Y:

ЗАДАНИЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

Задача № 1.

Определить силы в стержнях 1,2,3,4 фермы аналитическим способом. Графическим способом - только в стержнях 1,2. Данные для задачи своего варианта взять из таблицы 1 и схемы 1.

Задача № 2.

Определить опорные реакции балок. Данные для задачи своего варианта взять из таблицы 2 и схемы 2.

Задача № 3.

Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Данные для задачи своего варианта взять из таблицы 2 и схемы 2.

Задача № 4.

Определить положение центра тяжести плоской фигуры геометрической формы и сечения, составленного из прокатных профилей. Данные для задачи своего варианта взять из таблицы 3 и схемы 3.

Задача № 5.

Найти главные центральные моменты инерции плоской фигуры геометрической формы и сечения, составленного из прокатных профилей. Данные для задачи своего варианта взять из таблицы 3 и схемы 3.

Рис. 1

Рис.3

Таблица 1.

Схема на рис.1	Вариант	F1	F2	h1	h2	I	Схема на рис.1	Вариант	F1	F2	h1	h2	I
		кН	кН	м	м	м			kH	kH	м	м	м
1	00	18	20	4	---	4	9	50	25	30	1,5	2	2,5
2	01	15	20	0,5	2	2	10	51	25	30	0,5	3	2,5
3	02	20	20	0,5	2,5	2,5	7	52	20	30	1	2,5	3
4	03	20	20	2	---	2,5	8	53	20	30	4	---	2,5
6	04	30	15	1,2	2	2,5	5	54	40	15	1,5	2	3,5
5	05	30	15	1	2,5	2,5	6	55	40	15	1	2	4
8	06	20	40	2,5	---	3,5	3	56	18	30	1,2	2,5	3
7	07	20	40	1,2	2,5	3	4	57	18	30	3,5	---	2
10	08	20	35	0,5	3	3,5	1	58	15	35	3	---	2
9	09	20	35	1,5	3	3,5	2	59	15	35	0,7	2,5	3
2	10	20	25	0,7	2	2	4	60	10	25	3	---	2,5
1	11	20	25	2,5,	---	3	2	61	18	25	1	2,5	3,5
3	12	15	35	0,7	2,5	2,5	3	62	10	25	1	2,5	2,5
4	13	15	35	2,5	---	2	1	63	18		3,5	---	3
6	14	25	15	1,5	2,5	3	8	64	15	30	3,5	---	2
5	15	25	15	1,5	2,5	3	6	65	30	25	1,2	2,5	3,5
8	16	25	15	2	---	2	7	66	15	30	1,2	2	2,5
7	17	25	15	1	2,5	2	5	67	30	25	1,2	2,5	3
10	18	15	35	0,8	2,5	3	9	68	15	20	1,2	2	3
9	19	15	35	1,2	2,5	3	10	69	15	20	10,8	2	2,5
2	20	20	15	1	2	2	3	70	15	30	0,7	2	2,5
1	21	20	15	3	---	2,5	1	71	40	15	4	---	2,5
4	22	40	15	3	---	3,5	7	72	35	15	0,5	1,5	3
3	23	40	15	1	2	2	5	73	15	35	1	3	2
6	24	15	30	0,5	2	2	2	74	40	15	1,2	2,5	3,5
5	25	15	30	1,2	2	3,5	9	75	15	40	1	2,5	3
8	26	15	35	3	---	2,5	6	76	15	35	1,5	2,5	3,5
7	27	15	35	0,7	3	2,5	4	77	15	30	2,5	---	4,5
10	28	40	15	1	2,5	3,5	10	78	15	40	1	3	3
9	29	40	15	1	2	3	8	79	35	15	3	---	2,5
2	30	25	18	1,2	2	2,5	3	80	25	30	0,5	2	2
1	31	25	18	3,5	---	2,5	1	81	30	20	3	---	3
4	32	20	15	4	---	2,5	7	82	15	25	1,5	1,5	4
3	33	20	15	1,2	2	2	5	83	25	35	0,8	2,5	3
6	34	15	25	0,8	2,5	2	2	84	30	20	0,5	3	3,5
5	35	15	25	0,8	2	4	9	85	35	15	0,8	3	3,5
8	36	30	15	3,5	---	2	6	86	25	35	0,5	3	2
7	37	30	15	0,5	3,5	3	4	87	25	30	2	---	3
9	38	20	15	0,8	2,5	2,5	10	88	35	15	1,2	2,5	3,5
2	39	30	30	0,5	2,5	2,5	8	89	15	25	2,5	---	3
10	40	20	15	1,2	3	3	2	90	25	35	0,7	3	3
4	41	30	25	4	---	3,5	1	91	25	35	3,5	---	2,5
3	42	30	25	1,5	2,5	3	4	92	10	30	4	---	3
6	43	18	30	1	3	2,5	3	93	10	30	1	2,5	2
5	44	18	30	0,5	2,5	3	6	94	20	15	0,8	3	2,5
8	45	30	20	4	---	3	5	95	20	15	0,5	3	2
7	46	30	20	1,5	3	3,5	8	96	40	20	2	---	3,5
10	47	30	25	1,5	2	3	7	97	40	20	1	2	2
9	48	30	25	0,5	3	2,5	10	98	35	20	1,5	2,5	4
1	49	30	30	2,5	---	2	9	99	35	20	0,5	2,5	2,5

Таблица 2.

Схема на рис.2	Вариант	а1	а2	а3	F	q	М	Схема на рис.2	Вариант	а1	а2	А3	F	q	М
		м	м	м	kH	kH/м	kH м			м	м	м	kH	kH/м	kH м
1	00	0.7	0.8	---	80	15	10	9	50	0.4	1	1.6	60	20	15
2	01	1/5	0.7	0.8	15	10	40	10	51	0.6	1	---	30	15	20
3	02	1/5	0.7	---	20	15	20	7	52	0.4	1.6	1	40	10	25
4	03	0.7	1.5	0.8	25	15	30	8	53	0.5	0.9	1.1	120	15	18
6	04	1.5	0.7	0.8	60	15	35	5	54	0.9	1.6	---	25	15	35
5	05	0.7	1.5	---	65	18	25	6	55	1.6	1	0.4	15	20	40
8	06	1.1	0.4	0.5	25	15	30	3	56	1	1.6	---	100	18	20
7	07	0.8	1.5	0.7	35	12	20	4	57	1	1.6	0.4	50	25	18
10	08	0.5	0.9	---	80	15	25	1	58	1	0.4	---	75	10	25
9	09	0.8	0.7	1.5	25	18	40	2	59	1.6	1	0.4	60	25	10
2	10	2	0.5	1	35	25	18	4	60	0.6	1.8	0.8	45	20	18
1	11	0.5	1	---	120	10	20	2	61	1.8	0.8	0.6	50	18	25
3	12	0.5	2	---	35	10	40	3	62	0.6	1.8	---	35	12	25
4	13	0.5	2	1	40	10	25	1	63	0.6	0.8	---	100	12	15
6	14	2	0.5	1	25	8	25	8	64	1.6	1	0.4	80	20	30
5	15	1	2	--	40	25	40	6	65	1.8	0.8	0.6	35	18	20
8	16	0.7	1.7	0.8	40	10	15	7	66	0.8	1.8	0.6	55	15	40
7	17	1	2	0.5	80	18	35	5	67	0.4	2.1	---	55	20	18
10	18	0.6	1	---	60	18	15	9	68	0.8	0.6	1.8	55	25	30
9	19	1	0.5	2	40	15	25	10	69	0.5	0.9	---	25	18	15
2	20	1.2	0.5	1.3	80	15	20	3	70	0.5	1.5	---	25	10	30
1	21	0.5	1.3	---	50	25	30	1	71	0.5	1	---	125	10	10
4	22	0.5	1.2	1.3	60	18	20	7	72	1	1.5	0.5	70	18	35
3	23	0.5	1.2	---	15	20	35	5	73	0.8	2.2	---	40	18	20
6	24	1.2	0.5	1.3	40	10	15	2	74	1.5	0.5	1	100	15	18
5	25	0.8	1.2	---	35	10	20	9	75	1	0.5	1.5	35	18	15
8	26	1.2	1.2	0.6	60	18	25	6	76	1.5	1	0.5	55	12	20
7	27	1.3	1.2	0.5	120	15	10	4	77	0.5	1.5	1	80	10	40
10	28	0.4	0.8	---	120	10	40	10	78	0.6	0.9	---	55	20	25
9	29	1.3	0.5	1.2	55	10	35	8	79	1	1.2	0.5	60	10	25
2	30	1	1.2	0.8	25	12	15	3	80	0.8	2	---	70	18	15
1	31	0.8	1.2	---	40	30	35	1	81	0.8	0.7	---	80	20	25
4	32	0.8	1	1.2	75	10	15	7	82	0.7	2	0.8	100	12	15
3	33	0.8	1	---	40	12	30	5	83	0.7	1.5	---	30	10	15
6	34	1	1.2	0.8	30	20	15	2	84	2	0.8	0.7	60	10	25
5	35	0.6	1.8	---	50	8	15	9	85	0.7	0.8	2	25	20	35
8	36	0.6	1	1	80	12	15	6	86	2	0.8	0.7	60	10	15
7	37	1.2	1	0.8	60	30	25	4	87	0.8	2	0.7	35	15	20
9	38	1.2	0.8	1	100	12	20	10	88	0.6	0.9	---	60	18	40
2	39	1.4	0.6	1	40	8	20	8	89	0.8	0.7	0.7	50	25	20
10	40	0.6	0.8	---	50	14	30	2	90	1.2	1.1	0.7	30	14	10
4	41	0.6	1.4	1	100	12	30	1	91	0.7	1.1	---	60	15	40
3	42	0.6	1.4	---	60	20	18	4	92	0.7	1.2	1.1	55	20	25
6	43	1.4	0.6	1	10	25	40	3	93	0.7	1.2	---	120	15	25
5	44	0.5	2.3	---	80	12	25	6	94	1.2	1.1	0.7	80	15	35
8	45	0.5	1.3	1.2	100	10	35	5	95	0.4	1.6	---	20	12	10
7	46	1	1.4	0.6	50	25	15	8	96	0.4	1.4	0.9	40	18	15
10	47	0.5	0.9	---	40	10	25	7	97	1.1	1.2	0.7	50	25	10
9	48	1	0.6	1.4	80	15	40	10	98	0.6	1	---	80	14	30
1	49	0.6	1	---	60	18	40	9	99	1.1	0.7	1.2	50	15	30

Таблица 3.

Схема На рис.3	Вариант	а	b	h1	h2	h3	Двутавр №	Швеллер №	Уголок №	Полоса мм
		см
1	00	15	20	10	90	---	20	40	14/9	220x14
2	01	51	10	10	12	25	10	14	7/4.5	80x6
3	02	75	42	60	15	10	12	12	4	100x8
4	03	90	20	80	60	10	40	30	14/9	300x14
6	04	36	25	60	45	15	60	40	10/6.3	220x14
5	05	76	40	8	60	---	60	30	14/9	250x12
8	06	15	20	10	90	---	10	18	6.4/4	---
7	07	15	20	90	8	---	36	36	10	240x14
10	08	51	10	25	12	10	30	30	7	220x10
9	09	21	40	60	10	---	60	40	10/6.3	220x10
2	10	45	15	20	30	50	12	16	8/5	100x8
1	11	15	20	5	60	---	18	36	12.5/8	'220x12
3	12	46	27	75	21	5	14	14	4.5	120x8
4	13	60	20	40	21	5	30	24	8/5	240x12
6	14	45	30	45	66	30	40	36	12.5/8	200x12
5	15	45	27	10	75	---	40	20	10/6.3	220x12
8	16	15	30	5	60	---	12	20	7/4.5	---
7	17	15	20	60	10	---	30	30	7.5	240x10
10	18	45	15	50	30	20	12	12	4	100x8
9	19	24	25	75	12	---	40	36	11/7	200x10
2	20	60	10	10	36	45	14	24	8/5	160x10
1	21	9	15	8	75	---	12	24	11/7	180x14
4	22	75	15	50	130	8	27	22	9/5.6	220x12
3	23	63	21	90	30	8	16	16	5	160x10
6	24	66	20	60	72	40	22	27	10/6.3	160x12
5	25	63	21	12	90	---	36	18	7/4.5	200x12
8	26	9	15	8	75	---	14	24	8/5	---
7	27	30	15	75	15	---	27	27	8	220x14
10	28	42	10	45	36	10	14	14	4.5	120x8
9	29	27	30	90	15	---	22	27	8/5	160x10
2	30	72	15	15	15	30	16	27	9/5.6	200x10
1	31	9	14	15	51	---	10	20	8/5	150x10
4	32	51	14	70	30	15	24	20	10/6.3	200x10
3	33	36	18	66	30	15	18	18	6.3	160x12
6	34	60	18	50	45	20	18	24	9/5.6	150x10
5	35	36	18	10	66	---	24	12	8/5	150x10

Продолжение таблицы 3

8	36	9	18	15	51	---	16	27	10/6.3	---
7	37	9	14	51	15	---	24	24	6.3	220x10
9	38	18	20	66	10	---	18	24	9/5.6	150x12
2	39	45	12	10	21	30	18	24	8/5	150x10
10	40	36	15	30	15	15	16	16	5	160x10
4	41	66	18	80	36	10	22	20	8/5	200x12
3	42	48	24	75	36	10	20	20	5	150x10
6	43	72	25	80	51	30	14	20	8/5	150x8
5	44	48	24	8	75	---	20	10	7/4.5	150x12
8	45	12	20	10	66	---	18	36	10/6.3	---
7	46	12	18	66	8	---	22	22	5	200x12
10	47	30	12	30	21	10	18	18	6.3	160x12
9	48	21	12	75	15	---	14	20	7/4.5	150x10
1	49	12	18	10	66	---	20	40	12.5/8	240x12
9	50	18	15	63	12	---	16	24	8/5	160x12
10	51	45	12	25	18	8	20	20	5	150x10
7	52	18	12	48	10	---	20	20	7	160x10
8	53	18	20	12	48	---	20	40	12.5/8	---
5	54	66	36	12	63	---	16	8	5.6/8.6	120x10
6	55	75	30	80	60	35	12	30	7/4.5	140x8
3	56	66	36	63	15	5	22	22	8	200x10
4	57	48	17	60	15	12	20	18	8/5	180x12
1	58	18	20	12	48	---	18	36	10/6.3	200x10
2	59	48	12	8	18	25	10	16	8/5	100x8
4	60	36	15	50	27	20	18	14	7/4.5	140x10
2	61	51	15	12	9	20	12	20	10/6.3	120x10
3	62	51	33	45	27	10	24	24	6.3	200x12
1	63	15	15	20	36	---	12	24	8/5	200x10
8	64	15	15	20	36	---	16	27	8/5	---
6	65	81	35	70	60	40	16	24	8/5	160x10
7	66	15		36	12	---	18	18	6.3	150x12
5	67	51	33	12	45	---	40	20	8/5	200x10
9	68	12	10	45	15	---	14	27	9/5.6	200x12
10	69	42	15	20	9	12	22	22	6.3	200x10
3	70	75	33	90	45	15	27	27	7	200x12
1	71	12	16	15	63	---	10	20	9/5.6	180x12
7	72	21	16	63	15	---	16	16	5	150x10
5	73	75	33	8	90	---	36	18	8/5	180x12
2	74	60	10	10	12	25	14	27	11/7	180x12
9	75	24	15	[90	12	---	20	36	18/5	260x10
6	76	51	15	40	30	20	14	27	11/7	200x10
4	77	63	16	70	45	15	16	12	18/5	120x10

Продолжение таблицы 3

10	78	51	10	25	12	10	24	24	7	200x12
18	79	12	16	15	63	---	18	36	12.5/8	---
3	80	60	42	120	30	10	30	30	7.5	220x10
1	81	9	10	12	45	---	20	40	11/7	220x10
7	82	9	10	45	8	---	14	14	4	120x10 1
5	83	60	42	10	120	---	24	12	7/4.5	180x12
2	84	72	10	15	30	40	16	24	8/5	150x10
9	85	30	25	120	18	---	24	40	9/5.6	280xl4
6	86	57	20	45	36	15	20	36	10/6.3	260x12
4	87	45	10	50	30	12	24	20	10/6.3	200x12
10	88	51	10	25	12	10	30	30	7	220x10
8	89	9	10	12	45	---	14	24	7/4.5	---
2	90	75	10	10	15	30	18	27	10/6.3	180x10
1	91	15	20	10	75	---	18	36	12.5/8	220x12
4	92	75	20	40	51	10	20	18	7/4.5	180x10
3	93	90	60	63	51	20	36	30	10	240x12
6	94	63	16	80	45	25	24	40	12.5/8	280x12
5	95	90	60	12	63	---	20	10	6.3/4.0	140x10
8	96	15	20	10	75	---	12	20	10/6.3	---
7	97	15	20	75	10	---	12	12	4.5	120x8
10	98	42	10	30	15	10	36	36	10	1240x10
9	99	15	12	63	10	---	20	20	18/5	140x8