15. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

На практике часто требуется сравнить точность измерения различными приборами и методами.

Пусть имеются две нормально распределенные совокупности X и Y. (Если одну и ту же нормально распределенную случайную величину измеряют двумя приборами, то генеральные совокупности измеряемых значений будут разными – X и Y.)

Из этих генеральных совокупностей извлекают выборки объемом n₁ и n₂ и находят «исправленные» выборочные дисперсии  и .

Зададим уровень значимости критерия α.

По данным значениям  ,  и α проверим нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии равны.

Итак,  :  =  (Y).

«Исправленные» дисперсии являются несмещёнными оценками генеральных дисперсий, т. е.

М(  ) =  (X), M(  ) =  (Y),

Поэтому можно представить нулевую гипотезу таким образом:

 : М(  ) = M(  )

Проверим равенство математических ожиданий «исправленных» выборочных дисперсий. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем отношение большей «исправленной» дисперсии  к меньшей  , т. е. случайную величину: F = 

Величина F имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k_{1 =} n₁ - 1, k₂ = n₂ - 1, где n₁ – объем выборки для большей «исправленной» дисперсии, n₂ – для меньшей.

Предположим, что большая дисперсия относится к измерениям X, а меньшая – к измерениям Y.

Тогда в качестве альтернативной гипотезы можно принять

 : D(X) > D(Y).

В этом случае критическую область находят из условия:

P ( F > F_кр (α, k₁, k₂)) = α (правосторонняя область).

Критическую точку находят по таблице распределения Фишера-Снедекора.