Среднее линейное отклонение простое:

Среднее квадратическое отклонение

Наиболее совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое откложение, которое называют стандартом (или стандартным отклонение). Среднее квадратическое отклонение () равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:

Среднее квадратическое отклонение простое:

Дисперсия - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Дисперсия простая:

Дисперсия взвешенная:

2. Выборочные моменты, асимметрия, эксцесс.

Выборочным коэффициентом асимметрии называется число , определяемое формулой.      Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона (см. далее) вариационного ряда. Если полигон асимметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая.      В случае отрицательного коэффициента асимметрии более пологий «спуск» полигона наблюдается слева, в противном случае – справа. В первом случае асимметрию называют левосторонней, а во втором – правосторонней.      Выборочным эксцессом или коэффициентом крутизны называется числоE^˜k, определяемое формулой      .      Выборочный эксцесс служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения с нормальным распределением. Ранее подчеркивалось, что эксцесс для случайной величины, распределенной нормально, равен нулю. Поэтому за стандартное значение выборочного эксцесса принимаютE^˜k = 0. Если выборочному распределению соответствует отрицательный эксцесс, то соответствующий полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. В случае положительного эксцесса полигон более крутой по сравнению с нормальной кривой.

2. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенность, состоятельность, эффективность.

 Рассматривая x₁, x₂, …, x_n как независимые случайные величины x₁, x₂, …, x_n, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и даёт приближённое значение оцениваемого параметра.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям.

Пусть Q^* - статистическая оценка неизвестного параметра Q теоретического распределения.

Несмещённой называют статистическую оценку Q^*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объёме выборки, т. е.

M (Q^* ) = Q.

Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объёме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию.

7. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии. Метод моментов.

Оценки математического ожидания и дисперсии вычисляются по формулам

 ,  , (1)

 

где  — частота варианты  в выборке объема  .

Если объем выработки велик, то вычисление точечных оценок математического ожидания  и дисперсии  по формулам (1)громоздко. Для сокращения вычислений элементам выборки, попавшим в  –тый интервал, припишем значения равные серединам интервалов

Теоретические моменты выражаются через параметры распределения. Для основных видов распределений приведем выражение некоторых моментов через параметры распределения (таблица 4.1.1).

Таблица 4.1.1

Вид распределения	Параметры	Основные моменты
Биномиальное распределение
Закон Пуассона	а
Нормальное распределение
Равномерное распределение	А, В
Показательное распределение

Метод моментов состоит в приравнивании теоретических и эмпирических моментов. Составляется столько уравнений, сколько неизвестных параметров нужно оценить. Конечно, выбираются те моменты, которые выражаются через неизвестные параметры. В качестве оценок неизвестных параметров берется решение полученного уравнения или системы уравнений.