Тема 11. Вибірковий метод

Методичні поради до вивчення теми:

Метою вивчення теми є формування теоретичних знань та набуття практичних вмінь щодо проведення вибіркового спостереження, оцінки характеристик генеральної сукупності, перевірки статистичних гіпотез.

Студентам необхідно розуміти, що вибірковий метод є системою наукових принципів випадкового відбору певної частини сукупності, яка представляла б усю сукупність і характеристики якої слугували б надійною основою статистичного висновку. Слід розрізняти генеральну сукупність (з якої відбираються елементи для обстеження) і вибіркову сукупність (яку безпосередньо обстежують).

Статистичні характеристики вибіркової сукупності розглядаються як оцінки відповідних характеристик генеральної сукупності. Обсяг генеральної сукупності позначають через N, а вибіркової – через n. Студентам необхідно розрізняти генеральну середню (середній розмір досліджуваної ознаки в генеральній сукупності ) та вибіркову середню (середній розмір досліджуваної ознаки у вибірковій сукупності ). Різниця між середньою вибірковою і середньою генеральною дасть граничну помилку репрезентативності ( ):

= – (11.1)

Якщо питому вагу досліджуваної ознаки в генеральній сукупності позначимо через p, а у вибірковій – через w, то різниця між ними також дасть граничну помилку репрезентативності:

= w – p (11.2)

Схожість між генеральною і вибірковою середніми, генеральною і вибірковою частками характеризує теорія вибіркового методу, яка ґрунтується на законі великих чисел. Студентам слід уяснити, що відповідно до закону великих чисел, зв’язок між досліджуваними явищами можна виявити тільки при досить великій кількості елементів сукупності.

Студенти мають знати зміст таких етапів вибіркового спостереження, як: обґрунтування мети вибіркового спостереження; складання програми спостереження; вирішення організаційних питань щодо спостереження; визначення частки і способу відбору одиниць у вибіркову сукупність; здійснення відбору; реєстрація ознак досліджуваних одиниць; узагальнення даних спостереження та визначення їхніх вибіркових характеристик; обчислення похибок вибірки; поширення кількісних характеристик вибіркового спостереження на всю сукупність.

Слід звернути увагу на способи відбору одиниць із генеральної сукупності у вибіркову (повторний та безповторний) та класифікацію видів вибіркового спостереження: власне випадкова вибірка, механічна вибірка, типова (районована) вибірка, серійна (гніздова) вибірка, комбінована вибірка, одноступінчаста вибірка, багатоступінчаста вибірка, однофазна вибірка, багатофазна вибірка, взаємопроникна вибірка, квантильні вибірки, спрямований відбір, моментне спостереження, мала вибірка тощо.

Студентам слід пам’ятати, що при вибірковому спостереженні, крім помилок реєстрації, можуть виникати помилки репрезентативності, які поділяють на систематичні й випадкові. Систематичні помилки репрезентативності виникають внаслідок порушення принципів проведення вибіркового спостереження. Випадкові помилки – це наслідок випадковості відбору елементів сукупності для обстеження. Потрібно звернути увагу, що помилки репрезентативності залежать: від показників варіації певної ознаки (чим більший показник варіації, тим більший розмір можливої помилки), від чисельності вибірки (чим більша чисельність вибірки, тим менший розмір помилки), від способу відбору.

Щоб визначити середню (стандартну) помилку репрезентативності ( ) власне випадкової і механічної вибірки, користуються чотирма формулами (для повторного і безповторного відбору):

Вид вибірки Умови використання	Повторна	Безповторна
При визначенні середнього розміру досліджуваної ознаки
При визначенні частки досліджуваної ознаки

де – середня помилка репрезентативності; σ² – середній квадрат відхилень у вибірці (дисперсія); n – кількість одиниць вибірки; N – кількість одиниць генеральної сукупності; – частка вибірки (обстежувана частина сукупності); ( ) – необстежувана частина генеральної сукупності; w – частка досліджуваної ознаки у вибірці; (1 – w) – частка протилежної ознаки у вибірці.

При вивченні граничної помилки вибірки студентам слід ознайомитись зі змістом теорій П.Л. Чебишева і О.М. Ляпунова, які визначають ймовірність того, що гранична помилка репрезентативності не перевищить t-разову середню помилку репрезентативності. Зокрема, за теоремою П.Л. Чебишева з імовірністю, як завгодно близькою до одиниці, можна твердити, що при досить великому числі незалежних спостережень вибіркова середня ( ) буде як завгодно мало відрізнятися від генеральної середньої ( ).

Формула граничної помилки репрезентативності має такий вигляд:

= (11.3)

Додаючи до вибіркової середньої ( ) і віднімаючи її від неї, визначають межі середньої в генеральній сукупності:

, або (11.4)

Додаючи до вибіркової частки і віднімаючи її від неї, знаходять межі генеральної частки:

, або (11.5)

Застосовують такі формули граничної помилки вибірки:

Вид вибірки Умови використання	Повторна	Безповторна
Для середньої
Для частки

При обчисленні помилки типової (районованої) вибірки використовують середню з групових дисперсій:

(11.6)

При обчисленні помилки серійної (гніздової) вибірки враховується міжсерійна варіація:

(11.7)

де та – відповідно обсяг і середня k-ї серії.

Важливим питанням є визначення необхідної чисельності вибірки, тому студентам слід навчитися використовувати такі основні формули:

Спосіб відбору	Визначення середньої	Визначення частки
Повторний
Безповторний

Де, п – чисельність вибірки, t – коефіцієнт довір’я, який залежить від імовірності (Р) з якою гарантується значення граничної похибки вибірки.

При малих вибірках параметр «t» (квантилі t) визначають за розподілом ймовірностей Стьюдента для ймовірності 0,95 і числа ступенів свободи (числа незалежних величин, необхідних для визначення даної характеристики): k=n–1 (Додаток И). При n > 30 квантилі розподілу Стьюдента і нормального розподілу збігаються.

Розглядаючи особливості перевірки гіпотез, студентам слід розуміти, що суть перевірки гіпотез полягає в тому, щоб визначити, узгоджуються чи ні результати вибірки з гіпотезою, випадковими чи невипадковими є розбіжності між гіпотезою і даними вибірки. Найчастіше гіпотеза, яку належить перевірити, формулюється як відсутність розбіжності (нульова розбіжність) між невідомим параметром генеральної сукупності G і заданою величиною А, а тому її позначають Н₀. Зміст гіпотези записують після двокрапки, наприклад Н₀: G = A.

Необхідно звернути увагу на послідовність перевірки статистичних гіпотез: формулюється нульова Н₀ та альтернативна Н_a гіпотези; вибирається статистична характеристика Z, за значеннями якої перевіряють правильність гіпотези Н₀; визначається рівень істотності  і відповідне йому критичне значення Z_1 – ; за результатами вибірки розраховується фактичне (вибіркове) значення статистичної характеристики Z, яке порівнюють з критичним Z_1 – ; якщо Z > Z_1 – , гіпотеза Н₀ відхиляється, при Z < Z_1 –  — не відхиляється.

Процедура перевірки гіпотез використовується при порівнянні вибіркових характеристик (середньої, частки, дисперсії) з відповідними нормативами, порівнянні характеристик двох вибіркових сукупностей, оцінюванні істотності розбіжностей двох розподілів, у дисперсійному та кореляційному аналізі тощо.

Рекомендована література за темою

Основна [1, 4, 5, 6, 9]

Додаткова [3, 7, 9, 14, 21, 27]

Термінологічний словник

Безповторна вибірка – це вибірка, за якої кожна раніше відібрана одиниця не повертається до генеральної сукупності і в подальшій вибірці участі не бере.

Вибірковим спостереженням називають вид несуцільного спостереження, за характеристикою відібраної частини одиниць якого судять про всю сукупність.

Вибірковою сукупністю називають частину генеральної сукупності, яку відібрано для обстеження.

Власне випадкова вибірка передбачає випадковий відбір одиниць з генеральної сукупності.

Генеральною сукупністю називають загальну масу одиниць, з якої здійснюють відбір для дослідження.

Гранична похибка вибірки (Δ) – це максимально можлива похибка для взятої ймовірності F(x).

Мала вибірка – це формування вибіркової сукупності, яка складається з порівняно невеликої кількості одиниць (20...30).

Механічна вибірка — це послідовний вибір одиниць через рівні проміжки за їхнім розташуванням у генеральній сукупності або в будь-якій іншій послідовності.

Повторна вибірка – це вибірка, за якої кожна раніше відібрана одиниця повертається до генеральної сукупності і може повторно брати участь у вибірці.

Серійна (гніздова) вибірка передбачає відбір одиниць цілими групами (серіями, гніздами) сукупності, в межах яких обстежують всі одиниці без винятку.

Стандартна (середня) похибка вибірки  є середнім квадратичним відхиленням вибіркових оцінок від значення параметра в генеральній сукупності.

Статистична гіпотеза – це певне припущення щодо властивостей генеральної сукупності, яке можна перевірити, спираючись на результати вибіркового спостереження.

Типова (районована) вибірка передбачає поділ генеральної сукупності на однорідні групи за певною ознакою (на райони, зони), потім з кожної групи випадковим або механічним способом відбирають певну кількість одиниць пропорційно питомій вазі групи в загальній сукупності.

Навчальні завдання

Теми індивідуальних доповідей

1. Планування вибірки обстеження умов життя домогосподарств щодо оцінки показників бідності.

2. Екстраполяція результатів вибіркового обстеження умов життя домогосподарств на генеральну сукупність.

3. Методологічні положення щодо вибіркового обстеження підприємств оптової торгівлі.

Питання для обговорення на практичних заняттях

1. Види та способи вибіркового спостереження, що використовуються в економічній практиці.

2. Репрезентативність вибірки.

3. Обчислення середньої похибки вибіркового спостереження.

4. Гранична похибка репрезентативності.

5. Обчислення характеристик генеральної сукупності.

6. Методика перевірки статистичних гіпотез.

Питання для самостійної підготовки студентів

1. Закони розподілу вибіркових характеристик.

2. Малі вибірки.

3. Формування вибіркової сукупності звітуючи одиниць в обстеженні малих підприємств.

4. Способи перевірки статистичних гіпотез.

5. Розв’язання індивідуального розрахунково-аналітичного завдання № 8.

Тестові завдання для самоконтролю

1. Метою вибіркового спостереження є визначення узагальнюючих характеристик:

а) для тієї частини генеральної сукупності, яка відібрана для обстеження;

б) для всієї генеральної сукупності.

При формуванні вибіркової сукупності дотримання принципу випадковості відбору є:

в) обов’язковим; г) не обов’язковим.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

2. Назвіть, яке з проведених спостережень відноситься до вибіркового:

а) проведено обстеження п’яти їдалень мікрорайону, які працюють тільки з напівфабрикатами, з метою вивчення санітарного стану цих їдалень;

б) проведено обстеження кожного 10-го робітника цеху з метою вивчення втрат робочого часу в одному з цехів підприємства.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а,б; 4) жодне не являється.

3. Назвіть, яке з проведених спостережень відноситься до вибіркового:

а) проведено обстеження кожного п’ятого гастроному із 40, що були переведені на самообслуговування, з метою вивчення ефективності запровадження самообслуговування у продовольчих магазинах міста.

б) проведено обстеження кожної сотої сім’ї робітників вугільної галузі з метою вивчення залежності структури споживання від середньодушового доходу.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а,б; 4) жодне не являється.

4. При вибірковому обстеженні доходів домогосподарств у деяких з них не враховані субсидії на житлово-комунальні послуги, дивіденди на майнові та компенсаційні сертифікати. Результати обстеження містять:

а) систематичну помилку реєстрації;

б) систематичну помилку репрезентативності.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б.

5. При вибірковому обстеження якості продукції у цеху заздалегідь була виключена частина продукції, яка була вироблена двома низько кваліфікованими працівниками. Результати вибіркового спостереження включають:

а) систематичну помилку реєстрації;

б) систематичну помилку репрезентативності.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б.

6. За даними вибіркового опитування 46 % респондентів вважають рекламу основним джерелом інформації про товарний ринок. Стандартна помилка вибірки цього показника – 2,5 %. З імовірністю 0,954 можна стверджувати, що рекламою користуються:

1) не менше 43,5 % споживачів; 2) не більше 48,5 %; 3) не менше 41 і не більше 51 %; 4) не менше 51 %.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а,б; 4) жодне не являється.

7. За даними вибіркового обстеження 64 підприємств малого бізнесу в галузі інформаційно-обчислювального обслуговування середня окупність витрат становить 37 % при середньоквадратичному відхиленні 7,2 %. Визначте граничну помилку вибірки середнього рівня окупності з імовірністю 0,954.

Відповіді: 1) 0,90; 2) 0,85; 3) 1,8; 4) 0,67.

8. За даними вибіркового обстеження 25 фірм (19 %-вий відбір) середня тривалість обороту дебіторської заборгованості становить 72 дні при середньоквадратичному відхиленні 10 днів. Визначте граничну помилку вибірки середньої тривалості обороту з імовірністю 0,954.

Відповіді: 1) 0,8; 2) 1,8; 3) 3,6; 4) 3,4.

9. За результатами опитування (в рамках маркетингового дослідження) 135 домогосподарок із 225 віддають перевагу споживанню чаю в разових упаковках. З імовірністю 0,954 визначте помилку вибірки для частки домогосподарок, які є потенційними покупцями чаю в разових упаковках.

Відповіді: 1) 6,5; 2) 4,2; 3) 3,3; 4) 8,4.

10. За даними моментних спостережень на машинобудівному підприємстві у першу зміну не працювало 30 % металорізальних та 20 % ковальсько-пресових машин. Число спостережень – 200. Відносна помилка вибірки більша для верстатів:

1) металорізальних; 2) ковальсько-пресових; 3) помилки вибірки однакові; 4) висновок зробити неможливо.

11. Обстежено 19 % загального обсягу продукції підприємства. На скільки відсотків помилка власне випадкової безповторної вибірки менша помилки повторної вибірки?

Відповіді: 1) 10; 2) 19; 3) 1; 4) передбачити результат неможливо.

12. Скільки треба опитати респондентів, оцінюючи якість готельного обслуговування (задовольняє, не задовольняє), щоб гранична помилка вибірки часток з імовірністю 0,954 при цьому не перевищила 5 %?

Відповіді: 1) 400; 2) 100; 3) 20; 4) 200.

Розрахунково-ситуаційні завдання

1. У контракті між виробником та замовником продукції обумовлено, що замовник може відмовитись від контракту і всі збитки покриваються за рахунок виробника, якщо частка бракованої продукції перевищує 5 %. У результаті 10 % механічної вибірки перевірки із 800 одиниць продукції виявлено, що 160 одиниць мають брак. Чи є підстава замовнику розірвати контракт?

2. З метою визначення середньої суми вкладу в банки регіону, які мають 9 тис. вкладників, проведена 10%-а механічна вибірка, результати якої подано у таблиці:

Групи вкладників за розміром вкладу, грн.	до 300	300-500	500-700	700-900	900 і більше
Кількість вкладників	100	100	200	350	150

Обчисліть з імовірністю 0,954 можливі межі, в яких знаходиться середня сума вкладу в банк регіону; з імовірністю 0,977 можливі межі, в яких знаходиться питома вага вкладників, вклад яких не перевищує 500 грн.

3 Скільки фірм необхідно перевірити податковій інспекції району, для того щоб з імовірністю 0,954 похибка частки фірм, які несвоєчасно перерахували податки, не перевищувала 0,02. По даним попередньої перевірки, доля таких фірм становила 15 %.

4. В інституті з метою вивчення використання бюджету часу студентів проведене вибіркове обстеження (10%-ва вибірка). У вибірку потрапило 200 осіб. За результатами обстеження витрати робочого часу у годинах розподілилися таким чином:

Робочий час	Витрати часу, год	Середнє квадратичне відхилення
Час аудиторної роботи	4,5	0,27
Самостійна підготовка до занять	3,4	0,374

З числа обстежених студентів 15 % відмінники.

З імовірністю 0,954 знайдіть граничну помилку вибірки при визначені часу за кожною статтею; з імовірністю 0,997 визначте помилку вибірки при встановленні частки студентів – відмінників. Проаналізуйте отриманні результати та зробіть висновки.

5. За даними вибіркового обстеження 64 підприємств малого бізнесу середня окупність витрат становить 27 %, при середньо квадратичному відхилені 7,2%. Визначте граничну похибку вибірки середнього рівня окупності з ймовірністю 0,997.