Тема 9. Аналіз тенденцій розвитку та коливань

Методичні поради до вивчення теми:

Метою вивчення теми є формування теоретичних знань та набуття практичних навиків виявлення тенденцій розвитку, їх кількісної оцінки та використання при обґрунтуванні імовірного майбутнього стану об’єкта дослідження.

Вивчення теми доцільно починати з розуміння, що будь-який динамічний ряд у межах періоду з більш-менш стабільними умовами розвитку виявляє певну закономірність зміни рівнів – загальну тенденцію. Одним рядам притаманна тенденція до зростання, іншим – до зниження рівнів. Зростання чи зниження рівнів динамічного ряду може відбуватися рівномірно, прискорено чи уповільнено. Відтак важливим завданням статистичного аналізу є виявлення та кількісна оцінка тенденцій розвитку.

Для правильного виявлення та адекватної характеристики основної тенденції, студентам необхідно ознайомитись із особливостями та умовами застосування методів механічного та аналітичного вирівнювання (згладжування) рядів динаміки.

Механічне вирівнювання (згладжування) рядів динаміки, як правило, проводять за допомогою таких способів: укрупнення інтервалів (періодів); спосіб ковзної середньої; вирівнювання ряду динаміки за середнім абсолютним приростом; вирівнювання ряду динаміки за середнім коефіцієнтом зростання; зімкнення та зведення до однієї основи динамічних рядів.

Зі способами укрупнення інтервалів (періодів) та зімкнення і зведення до однієї основи динамічних рядів студентам необхідно ознайомитись в межах самостійної роботи.

Розглядаючи згладжування ряду динаміки за допомогою ковзної середньої студентам слід розуміти, що суть цього способу в тому, що спочатку додають рівні ряду за прийнятий інтервал і обчислюють середню арифметичну. Після цього утворюють новий інтервал, починаючи з другого рівня ряду, для якого визначають нову середню, і т. д. Тобто, при стійкому інтервалі кожну наступну середню обчислюють, зсуваючи період на одну дату.

Вирівнювання ряду динаміки за середнім абсолютним приростом та середнім коефіцієнтом зростання (формули 88, 89 додатку А) є достатньо простими способами вирівнювання, проте, рівні, які знаходяться в середині ряду, не враховуються, і якщо початковий та кінцевий рівні зазнають сильного випадкового впливу, то загальна тенденція може бути викривленою.

Більш точним способом математичного опису тенденції є аналітичне вирівнювання, суть якого полягає у знаходженні такої математичної лінії, ординати точок якої були б найближчі до фактичних значень ряду динаміки.

Студентам необхідно уяснити, що при виборі виду рівняння для аналітичного вирівнювання, можна використовувати графічний спосіб (будується графік фактичних значень рівнів ряду динаміки і за його видом обирається вид функції) і аналітичний спосіб (аналізується зміна абсолютних ланцюгових приростів рівнів ряду динаміки: якщо вони більш-менш рівномірні, то найбільш доцільною для вирівнювання є пряма лінія; якщо абсолютні прирости рядів динаміки не стабільні, а мають тенденцію до зростання або зниження, то доцільно використовувати параболу другого порядку тощо).

Вид основних функцій, що використовуються для аналітичного згладжування та метод найменших квадратів для оцінки їх параметрів наведено у додатку А (формули 90-93), студентам необхідно навчитися їх використовувати для визначення невідомих параметрів та побудови рядів динаміки з вирівняними значеннями.

Після цього, особливої уваги потребує вивчення способів перевірки адекватності отриманої функції тренду. Студентам необхідно розглянути методику обчислення таких показників, як коефіцієнт детермінації, стандартна похибка (залишкове середнє квадратичне відхилення), середня похибка апроксимації (формули 94-96 додатку А) та за їх значеннями навчитися проводити оцінку отриманих результатів вирівнювання.

Розраховане фактичне значення коефіцієнта детермінації необхідно порівняти з табличним (критичним) для визначеної імовірності (наприклад, 0,95) та ступенів вільності k₁ і k₂ (додаток Б). Ступені вільності к₁=т-1, к₂=п-т, де т – кількість параметрів рівняння регресії (для лінійної функції т=2 – параметри а₀ і а₁); п – кількість рівнів динамічного ряду. Адекватність отриманої функції буде за умови перевищення фактичного значення коефіцієнта детермінації над його критичним значенням.

При інтерпретації значень середньої помилки апроксимації, слід пам’ятати: якщо ≤10%, то побудоване рівняння характеризується високим рівнем адекватності реальному процесу.

Побудоване рівняння тренду дозволяє провести інтерполяцію та екстраполяцію значень досліджуваного показника. При інтерполяції у рівняння тренду підставляють проміжні значення «t» для яких невідомі значення «у» і обчислюють теоретичні рівні «у_t». При екстраполяції, значення «t» за межами динамічного ряду підставляють у трендове рівняння і отримують точкове прогнозне значення у майбутньому.

Студентам необхідно навчитися обчислювати не тільки точкове прогнозне значення майбутніх рівнів ряду динаміки, але й визначати інтервальну оцінку прогнозних значень показника. При цьому, межі інтервалів необхідно визначати за формулою:

(9.1)

Де, t – коефіцієнт довіри за розподілом Стьюдента; σ_s – стандартна похибка (обчислюється за формулою 95 додатку А); p – величина горизонту прогнозування; – прогнозне точкове значення рівня ряду динаміки. Коефіцієнт довіри (t) вибирається із статистичних таблиць розподілу Стьюдента в залежності від числа ступенів вільності (п-т) і рівня значимості α (0,01 або 0,05).

При аналізі сталості динаміки, студентам необхідно опанувати найпростішу оцінку систематичних коливань на основі розрахунку та аналізу коефіцієнтів нерівномірності, які обчислюються відношенням максимального і мінімального рівнів динамічного ряду до середнього. Чим більша нерівномірність процесу, тим більша різниця між цими двома коефіцієнтами.

Враховуючи, що окремим соціально-економічним процесам притаманні внутрішньорічні, сезонні піднесення і спади, для формулювання адекватних висновків статистичного аналізу потребує уваги оцінка ступеня та характеру сезонних коливань.

Студентам слід розуміти, що сезонні коливання виявляються і аналізуються на основі рядів щомісячних або щоквартальних даних. Характер сезонних коливань описується «сезонною хвилею», яку утворюють індекси сезонності (формула 97 додатку А). Для порівняння інтенсивності сезонних коливань різних явищ чи одного й того самого явища в різні роки можна використовувати такі узагальнюючі характеристики варіації індексів сезонності:

1. Амплітуда коливань (R_с):

(9.2)

Де, I_max, I_min – відповідно максимальний і мінімальний індекси сезонності; y_max, y_min – відповідно максимальні і мінімальні рівні ряду динаміки; – середній рівень ряду динаміки.

2. Середнє лінійне відхилення (l_c):

(9.3)

Де, І_с – індекс сезонності (кожного місяця).

3. Середнє квадратичне відхилення (σ_c):

(9.4)

Студенти мають навчитися інтерпретувати значення цих показників, самостійно ознайомитися зі способами моделювання сезонних змін, творчо використовувати отримані результати у практичній діяльності за фахом.

Рекомендована література за темою

Основна [5, 7, 21, 23 ]

Додаткова [1, 12, 24, 27]

Термінологічний словник

Екстраполяція – це продовження виявленої тенденції за межі ряду динаміки.

Індекс сезонності – це процентне відношення однойменних місячних (квартальних) фактичних рівнів рядів динаміки до їх середньорічних або вирівняних рівнів.

Інтерполяція – це знаходження відсутніх проміжних рівнів ряду динаміки.

Коефіцієнт нерівномірності – це відношення максимального і мінімального рівнів динамічного ряду до середнього.

Спосіб найменших квадратів – це спосіб знаходженні такої математичної лінії, ординати точок якої були б найближчі до фактичних значень ряду динаміки.

Тенденція – це певний напрям розвитку, тривала еволюція, яка має характер зростання, стабільності або зниження рівнів явища.

Навчальні завдання

Теми індивідуальних доповідей

1. Використання ковзної середньої у статистичному аналізі.

2. Кореляційні залежності між рівнями рядів динаміки.

3. Прогнозування на основі екстраполяції тенденції.

4. Моделювання сезонних коливань.

Питання для обговорення на практичних заняттях

1. Прості способи вирівнювання рядів динаміки.

2. Визначення типу функції при аналітичному вирівнюванні ряду динаміки.

3. Оцінка адекватності отриманої функції тренду.

4. Оцінка нерівномірності динаміки.

5. Способи побудови інтервального прогнозу.

Питання для самостійної підготовки студентів

1. Вирівнювання динамічних рядів на основі укрупнення інтервалів (періодів).

2. Спосіб зімкнення та зведення до однієї основи динамічних рядів.

3. Центрування динамічного ряду.

4. Інтерполяція в економічних дослідженнях.

5. Графічне зображення сезонних коливань.

6. Розв’язання індивідуального розрахунково-аналітичного завдання № 6.

Тестові завдання для самоконтролю

1. Для встановлення загальних закономірностей розвитку за даними рядів динаміки їх обробляють за допомогою таких методів:

а) укрупнення інтервалів часу;

б) переведення абсолютних рівнів ряду у відносні;

в) вирівнювання ряду за допомогою плинних середніх;

г) аналітичне вирівнювання ряду динаміки.

Відповіді: 1) а; 2) а, б; 3) а, б, в; 4) а, б, в, г.

2. Якщо є передумови вважати, що досліджуване явище збільшується із постійним абсолютним приростом, то для аналітичного вирівнювання ряду динаміки доцільно використовувати рівняння:

а) лінійне;

б) параболи другого порядку;

в) ступеневе;

г) гіперболи.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

3. Для вирівнювання рівня динаміки, який характеризує зміну кількості машин в автопарку, використано пряму Y = a + bt. Параметр b характеризує:

а) середньорічний абсолютний приріст;

б) середньорічний темп зростання;

в) середньорічний темп приросту;

г) середній рівень ряду.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

4. У лінійному рівнянні тренду Y = a + b*t параметр «a» характеризує:

а) середньорічний абсолютний приріст;

б) середньорічний темп приросту;

в) середньорічний рівень ряду динаміки;

г) рівень ряду динаміки при t = 0.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

5. Ряд динаміки, який характеризує зміну виробництва цук­рового буряка (ц) сільськогосподарськими підприємст­вами за 2005-2010 роки, аналітично можна відобразити рівнянням Y = 230 + 12*t. Це означає, що виробництво цукрового буряка збільшувалось щорічно в середньому на:

а) 12%; в) 242 ц;

б) 12 ц; г) 12%.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

6. Інтерполяцією називається визначення невідомих рівнів:

а) всередині заданого ряду динаміки;

б) за межами заданого ряду динаміки.

Застосування інтерполяції можливе за умови, що:

в) динаміці суспільних явищ властивий рівномірний харак­тер зміни у часі;

г) виявлена тенденція у динамічному ряді матиме місце і надалі.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

7. Екстраполяцією називається визначення невідомих рівнів:

а) всередині заданого ряду динаміки;

б) за межами заданого ряду динаміки.

Якщо тенденція розвитку досліджуваного явища лінійна, екстраполяція може здійснюватись на основі середніх:

в) абсолютних приростів;

г) темпів зростання.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

8. Середньорічна кількість населення, зайнятого економіч­ною діяльністю у регіоні, збільшилась з 42 тис. осіб у 2005р. до 55 тис. осіб у 2010 р. Вказаний період характеризується стабільним щорічним абсолютним приростом кількості зайнятих. Визначити кількість населення, зайнятого економічною діяльністю у 2008 р.:

а) 51,75 тис. осіб; в) 48,6 тис. осіб;

б) 49,8 тис. осіб; г) 48,5 тис. осіб.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

9. Середньорічна кількість зайнятого населення у будівництві зменшилась з 15 тис. осіб у 2006 р. до 9 тис. осіб у 2010 р. Вказаний період характеризується стабільним щорічним зменшенням кількості зайнятих у будівництві. Визначити кількість зайнятого населення у будівництві у 2009 р.:

а) 18,6 тис. осіб; в) 10,5 тис. осіб;

б) 10,2 тис. осіб; г) 10,0 тис. осіб.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

10. Середньорічний темп зростання кількості торгівельних підприємств міста за 2005-2010 роки становив 103,5%. Якою буде можлива кількість торгівельних підприємств у 2012 р., якщо відомо, що у 2005 р. їх було 2500:

а) 3180; в) 3025;

б) 3109; г) 3073.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

11. Тенденцію зростання врожайності рису (ц) у районі за 2001-2010 роки можна описати рівнянням Y =26,34 + 1,85t, де t = 1,2,3,…,n. Екстраполюючи цю тенденцію розвитку, визначити очікувану врожайність рису у 2015 р.:

а) 30,04 ц; в) 44,84 ц;

б) 48,54 ц; г) 54,09 ц.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

12. Екстраполяцією називається визначення невідомих рівнів:

а) всередині заданого ряду динаміки;

б) за межами заданого ряду динаміки.

Якщо тенденція розвитку досліджуваного явища лінійна, екстраполяція може здійснюватись на основі середніх:

в) абсолютних приростів;

г) темпів зростання.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

13. Інтерполяцією називається визначення невідомих рівнів

а) всередині заданого ряду динаміки;

б) за межами заданого ряду динаміки.

Застосування інтерполяції можливе за умови, що:

в) динаміці суспільних явищ властивий рівномірний харак­тер зміни у часі;

г) виявлена тенденція у динамічному ряді матиме місце і надалі.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

14. Для порівняння зміни рівнів динамічних рядів кількох споріднених або взаємопов’язаних явищ, ці ряди перетворюють на основі:

а) зімкнення динамічних рядів;

б) зведення динамічних рядів до однієї основи;

в) аналітичного вирівнювання рядів динаміки;

г) укрупнення інтервалів часу динамічних рядів.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

15. Щоб забезпечити порівнянність двох відрізків одного динамічного ряду, які є непорівнянними, вдаються до такого прийому,як:

а) зімкнення динамічних рядів;

б) зведення динамічних рядів до однієї основи;

в) аналітичного вирівнювання рядів динаміки;

г) укрупнення інтервалів часу динамічних рядів.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

16. Ряд динаміки, який характеризує зміну виробництва газу (млрд. м³) за 2000-2010 роки, можна аналітично зобразити рівнянням Y = 63,8 + 5,2*t. Це означає, що виробництво газу з року в рік збільшується в середньому на:

а) 5,2%; в) 69 млрд.м³;

б) 5,2 млрд.м³; г) 102,2%.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

17. Динаміка виробництва пряжі одним робітником за годину (кілометрів) за 2004-2010 роки можна описати рівнянням тренду Y = 118+7*t, де t=1,2,3,…,n. Використовуючи пара­метри цього рівняння, визначити рівень виробництва пряжі одним робітником за одну годину в 2014р.:

а) 186; в) 195;

б) 200; г) 146.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

18. Якщо є підстави для припущення, що явище зростає з більш-менш стабільним абсолютним приростом, то аналітичне вирівнювання динамічного ряду доцільно вести за функцією: а) лінійною; б) показовою.

За стабільних темпів приросту адекватним трендовим рівнянням є:

в) лінійне; г) експонента (показова функція).

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

19. У лінійному рівнянні тренду Y= a+b*x параметр «b» характеризує:

а) середній абсолютний приріст; б) середній темп зростання;

параметр «a»:

в) середній рівень ряду динаміки; г) рівень ряду динаміки при t =0.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

20. Помісячне зростання оплати послуг населенням регіону (млн. грн.) описується трендовим рівнянням: Y_t=14,6+1,8*t.

Це означає, що оплата послуг населенням зростає щомісяця в середньому на: 1) 1,8 %; 2) 101,8 %; 3) 1,8 млн. грн.; 4) 16,4 млн. грн.

Розрахунково-ситуаційні завдання

1. Обсяг реалізації продукції підприємства за 11 років характеризується такими даними:

Роки	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Обсяг реалізації продукції, млн.грн	210	270	280	240	250	320	330	250	260	270	290

Вирівняти наведений ряд динаміки за допомогою:

1. Ковзної середньої.

2. Середнього абсолютного приросту.

3. Середнього коефіцієнту зростання.

Вирівняний ряд динаміки подати графічно. Зробити висновки за отриманими результатами.

2. Кількість укладених угод щодо надання послуг консалтингової компанії характеризується такими даними:

Роки	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Кількість угод, од	16	15	13	10	11	14	14	16	19	21

Визначити вид функції та провести аналітичне вирівнювання наведеного ряду динаміки.

3. Собівартість одиниці продукції переробного підприємства характеризується такими даними:

Роки	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Собівартість одиниці продукції, грн	9	16	20	24	30	36	42	45

Необхідно:

1. Визначити вид функції та провести аналітичне вирівнювання наведеного ряду динаміки.

2. Провести оцінку адекватності отриманої функції (розрахувати коефіцієнт детермінації, стандартну похибку, середню похибку апроксимації).

3. Скласти прогноз собівартості одиниці продукції на 2011, 2012 та 2013 роки.

4. Кредитування комерційними банками України характеризується такими даними:

Рік	Кредити комерційних банків, млн. грн.	Ланцюгові характеристики динаміки
		Абсолютний приріст, млн. грн.	Темп зростання, %	Темп приросту, %	Абсолютне значення 1 % приросту, млн. грн.
1	300,00	х	х	х	х
2		20,00
3				5,00
4
5		25,00			3,60

Використовуючи взаємозв’язок показників динаміки, заповнити пусті клітинки таблиці.

5. Динаміка чисельності постійного населення міста за 5 років (на початок року) характеризується такими даними:

Рік	Чисельність населення міста, тис.осіб.	Базисні характеристики динаміки
		Абсолютний приріст, тис. осіб.	Темп зростання, %	Темп приросту, %
1	2300,00
2				-2,00
3		-28,00
4			97,00
5				-6,00

Використовуючи взаємозв’язок показників динаміки, заповнити пусті клітинки таблиці.

6. Тенденція витрат компанії на рекламу (тис. грн.) за 2004-2010 рр. описується трендовим рівнянням Yt = 28,4 + 1,75t, де t = 1, 2, …, n. Поясніть економічний зміст параметрів рівняння. Припускаючи, що тенденція збережеться, визначте очікуваний обсяг витрат на рекламу в найближчі три роки.

7. Втрати робочого часу на промисловому підприємстві у 2010 році, що обумовлені рівнем захворюваності персоналу характеризуються такими даними:

Місяць	Втрати робочого часу, людино-днів	Місяць	Втрати робочого часу, людино-днів
Січень	60	Липень	8
Лютий	80	Серпень	9
Березень	110	Вересень	12
Квітень	60	Жовтень	50
Травень	45	Листопад	100
Червень	15	Грудень	85

Необхідно:

1. Обчислити індекси сезонності.

2. Визначити узагальнюючі характеристики варіації індексів сезонності (амплітуду коливань, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення).

3. Побудувати «сезонну хвилю» (графічно).