Приклади розв’язання типових задач
Задача 1. Наведені дані про розподіл робітників підприємства за стажем роботи:
Розподіл робітників підприємства за стажем роботи
Стаж роботи, років |
до 5 |
5-7 |
7-9 |
9-11 |
11-13 |
13-15 |
15 і більше |
Разом |
Кількість робітників |
17 |
39 |
51 |
42 |
29 |
15 |
7 |
200 |
Визначити: середній стаж роботи, середнє квадратичне відхилення, моду та медіану, стандартизоване відхилення середньої і медіани, середньої та моди.
Розв’язок:
Побудуємо розрахункову таблицю:
Стаж роботи, років |
Кількість робітників f |
Кумулятивна частка Sf |
Центр інтервалу хі |
хf |
х2f |
До 5 |
17 |
17 |
4 |
68 |
272 |
5-7 |
39 |
56 |
6 |
234 |
1404 |
7-9 |
51 |
107 |
8 |
408 |
3264 |
9-11 |
42 |
149 |
10 |
420 |
4200 |
11-13 |
29 |
178 |
12 |
348 |
4176 |
13-15 |
15 |
193 |
14 |
210 |
2940 |
15 і більше |
7 |
200 |
16 |
112 |
1792 |
Разом |
200 |
- |
- |
1800 |
18048 |
За даними таблиці обчислюємо:
Середній стаж роботи:
Медіану стажу роботи:
Моду стажу роботи:
Середнє квадратичне відхилення:
Стандартизовані відхилення
Обчислені показники свідчать про помірну правосторонню асиметрію розподілу.
Задача 2. Наведені дані про розподіл урожайності озимої пшениці:
Урожайність озимої пшениці, ц/га |
Посівна площа, % f |
40-42 42-44 44-46 46-48 48-50 50-52 52-54 |
4 7 28 35 16 6 4 |
Разом |
100 |
Необхідно визначити коефіцієнти асиметрії та ексцесу.
Розв’язок:
Побудуємо розрахункову таблицю:
Розрахунок коефіцієнтів асиметрії та ексцесу
Урожайність озимої пшениці, ц/га |
Посівна площа, % f |
χі |
χf |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
40-42 42-44 44-46 46-48 48-50 50-52 52-54 |
4 7 28 35 16 6 4 |
41 43 45 47 49 51 53 |
164 301 1260 1645 784 306 212 |
-5,72 -3,72 -1,72 0,28 2,28 4,28 6,28 |
32,7184 13,8384 2,9584 0,0784 5,1984 18,3184 39,4384 |
130,8736 96,8688 82,8352 2,744 83,1744 109,3104 157,7536 |
-748,5970 -360,3519 -142,4765 0,7683 189,6376 470,4165 990,6926 |
4281,975 1340,509 245,060 0,215 432,374 2013,383 6221,550 |
Разом |
100 |
|
4672 |
|
|
663,36 |
400,0896 |
14535,06 |
Середня урожайність озимої пшениці:
Середнє квадратичне відхилення:
Момент 3-го і 4-го порядку характеризують, відповідно, асиметрію та ексцес.
АS = μ3 : σ3 = 4,00і : 2,5773 = 0,2 337
Еk = μ4 : σ4 = і45,35і : 2,5774 = 3,2 958
Висновок: розподіл посівних площ за врожайністю озимої пшениці характеризується незначною правосторонньою асиметрією. Коефіцієнт ексцесу більший за 3 (Ек=3,2958), що свідчить про гостровершинність розподілу (рис 6.1).
Рис. 6.1. Розподіл посівних площ за врожайністю озимої пшениці
Даний розподіл має позитивний ексцес, тобто характеризується нагромадженням членів ряду в центрі розподілу.
Задача 3. Розподіл промислових підприємств регіону за вартістю основних виробничих фондів і обсягами спожитої електроенергії характеризується такими даними:
Вартість основних виробничих фондів, грн. |
У % до підсумку |
|
Кількість підприємств
|
Спожито електроенергії |
|
До 5 5 - 10 10 - 20 20 - 50 50- 100 100 і більше |
20 38 22 13 4 3 |
4 5 8 12 25 46 |
Разом |
100 |
100 |
Визначити коефіцієнт концентрації.
Розв’язок:
Оцінка концентрації значень ознаки ґрунтується на відхиленнях часток двох розподілів – за кількістю елементів сукупності, тобто за кількістю підприємств – dі і обсягом значень ознаки, тобто за обсягом спожитої електроенергії – D (хdі).
Коефіцієнт концентрації – це півсума модулів відхилень:
Для визначення суми модулів відхилень використаємо наступну таблицю:
Розрахунок суми модулів відхилень
Вартість основних виробничих фондів, тис.грн. |
У % до підсумку |
Модуль відхилення часток 1/100 / dі – хdі / |
|
Кількість підприємств, dі |
Спожито електроенергії, хdі |
||
До 5 5 - 10 10 - 20 20 - 50 50- 100 100 і більше |
20 38 22 13 4 3 |
4 5 8 12 25 46 |
0,16 0,33 0,14 0,01 0,21 0.43 |
Разом |
100 |
100 |
1,28 |
За даними таблиці коефіцієнт концентрації дорівнює:
,
Висновок: коефіцієнт концентрації дорівнює 0,64 що свідчить про досить високий ступінь концентрації споживання електроенергії у промисловості регіону.