Тема 6. Аналіз концентрації, диференціації та подібності розподілів

Методичні поради до вивчення теми:

Метою вивчення теми є формування у студентів вмінь та навиків щодо аналізу форми розподілу, нерівномірності розподілу та подібності різних розподілів.

Вивчення теми доцільно починати з розгляду системи узагальнюючих числових показників, що одержали назву моментів статистичного розподілу. Враховуючи, що моментом розподілу є середня арифметична величина з піднесених до заданого ступеня відхилень окремих варіантів ряду розподілу від деякої постійної величини «А» (формула 36 додатку А), то в залежності від значення цієї довільної величини моменти можуть бути початковими, центральними та умовними. Слід звернути увагу, що коли постійна величина «А» дорівнює нулю, то момент розподілу буде початковим (формула37 додатку А), якщо «А» дорівнює середньої арифметич­ної, то момент буде центральним (формула38 додатку А), якщо за постійну величину «А» приймається довільно взята величина (х_о), яку називають умовним початком відліку, то момент розподілу буде умовним.

У статистичній практиці поширення набуло використання нормованих (стандартизованих) моментів розподілу, які обчислюються за формулою:

(6.1)

Де, μ_к - центральний момент к-го порядку; σ^к – середнє квадратичне відхилення в к-му ступені.

Студентам слід запам’ятати, що початковий момент першого порядку (М₁) використовують для обчислення середньої арифметичної зваженої, центральний момент другого порядку (μ₂) – для обчислення дисперсії, центральний момент третього порядку (μ₃) – для оцінки скошеності (асиметрії) розподілу, центральний момент четвертого порядку (μ₄) – для оцінки гостровершинності (ексцесу).

З метою спрощення обчислення моментів розподілу, студентам необхідно знати та використовувати такі математичні властивості центральних моментів: якщо всі варіанти ряду розподілу зменшити або збільшити на яке-небудь постійне число, то величина центрального моменту к-го порядку не зміниться; якщо всі варіанти ряду розподілу зменшити або збільшити в одне і теж число раз «z», то центральний момент к-го порядку зменшиться або збільшиться в z^к разів.

Аналіз нерівномірності розподілу доцільно починати з визначення форми розподілу та обчислення її характеристик.

Студенти мають знати, що форма розподілу залежить від сукупної дії факторів, що вплива­ють на формування значень досліджуваної ознаки. Відтак, ряди розподілу можуть бути одно-, дво- і багато вершинними. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукуп­ності, про поєднання в ній груп з різними рівнями ознаки.

Враховуючи, що одновершинні розподіли можуть бути симетричними (частоти варіантів рівновіддалені від центра значень ознаки) та асиметричними або скошеними (частоти по обидва боки від центра змінюються неоднаково), важливим питанням є визначення напряму та міри асиметрії.

За напрямом асиметрія може бути правосторонньою і лівосторонньою, при цьому необхідно розуміти, що напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини розподілу (в разі правосторонньої асиметрії вер­шина розподілу зміщена вліво, а при лівосторонній – вправо).

Міру асиметрії можна визначити за допомогою відносного показника асиметрії (формула 40 додатку А), на практиці його значення не буває надто великим і в помірно скісних розподілах не перевищує одиниці, або коливається в межах від -3 до +3.

Міру асиметрії також можна визначити за відхиленням між середньою арифметичною (Х_ср) модою і медіаною (табл. 6.1).

Таблиця 6.1

Характеристики асиметрії розподілу

Форми розподілу	Умови розподілу	Значення коефіцієнту асиметрії (А)
Симетричний розподіл	=Мо=Ме	А=0
Помірно асиметричний розподіл	Мо= -3( -Ме)	-1<А<1, А≠0
Правостороння асиметрія	>Ме>Мо	А>0
Лівостороння асиметрія	<Ме<Мо	А<0

Слід звернути увагу, що для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів використовується нормований (стандартизований) момент третього порядку (формула 41 додатку А). Якщо А<0,25 то вважають, що асиметрія низька, якщо А <0,5 – середня, при А >0,5 – висока.

Враховуючи, що крутість варіаційного ряду, тобто його високовершинність (гостровершинність) або низьковершинність (плосковершинність) характеризується ексцесом, студентам необхідно вміти за допомогою центрального нормованого (стандартизованого) моменту четвертого порядку визначати коефіцієнт ексцесу (формула 42 додатку А). У симетричному (нормальному) розподілі Е=3, у разі гостровершинного – Е>3, для плосковершинного – Е <3.

Оцінку нерівномірності розподілу можна також провести на основі порівняння значень частки розподілу елементів сукупності з відповідними частками розподілу значень ознаки. Якщо ці частки відрізняються, то має місце нерівномірний розподіл. Узагальнюючу міру відхилення розподілу від рівномірного можна визначити за формулою 43 додатку А (коефіцієнт концентрації). Студентам слід запам’ятати, що коефіцієнт концентрації змінюється від 0 до 1. При К=0 спостерігається рівномірний розподіл, при К=1 – повна концентрація. Для оцінки локалізації значень ознаки в окремих складових сукупності за формулою 44 додатку А обчислюють коефіцієнт локалізації. За рівномірного розподілу усі значення L_j =1, у випадку локалізації значень в j-й складовій L_j>1, і навпаки.

Для оцінки подібності (схожості) розподілів або структур двох сукупностей студентам необхідно використовувати коефіцієнт подібності (схожості), який розраховується за формулою 45 додатку А. При цьому слід пам’ятати, що розподіли (структури) однакові при Р=1, якщо розподіли (структури) абсолютно протилежні, то Р=0, чим більше схожі розподіли (структури), тим більше значення Р.

Інтенсивність структурних зрушень за певний період студентам доцільно оцінювати за допомогою лінійного коефіцієнта структурних зрушень (формула 46 додатку А) або квадратичного коефіцієнта структурних зрушень (формула 47 додатку А).

Студентам слід опанувати основні способи графічного зображення рядів розподілу, зокрема, навчитися будувати огіву, гістограму, полігон, кумуляту і криву Лоренца.

Рекомендована література за темою

Основна [5, 7, 21, 23]

Додаткова [2, 6, 8, 10, 15, 27]

Термінологічний словник

Асиметрія – результат обмеженої варіації ознак в одному напрямі або вплив переважної причини розвитку явища, яка відповідає за змі­щення центра його розподілу.

Гістограма (стовпчикова діаграма розподілу) – це графічне зображення інтервальних варіаційних рядів розподілу при якому на осі абсцис відкладають відрізки, які відображують інтервал, а площа кожного стовпчика повинна бути пропорційною частотам (часткам).

Ексцес – це властивість одновершинних розподілів, що характеризує зосередженість елементів сукупності навколо центра розподілу.

Коефіцієнт концентрації – це півсума модулів відхилень частки елементів сукупності від відповідної частки розподілу значень ознаки.

Коефіцієнт локалізації – це співвідношення частки елементів сукупності та відповідної частки розподілу значень ознаки.

Крива Лоренца – це спосіб графічного зображення рівня концентрації явища (на осі координат наносять процентну масштабну шкалу від 0 до 100, на осі абсцис відкладають нагромаджені частості, а на осі ординат – нагромаджені відносні обсяги варіюючої ознаки, вираженої в процентах).

Кумулята – графічне зображення варіаційного ряду з нагромадженими частотами (на осі абсцис відкладають варіанти, а на осі ординат – нагромаджені частоти які показують, скільки одиниць сукупності мають значення ознаки, що не перебільшує цього значення).

Момент розподілу – це середня арифметична величина з піднесених до заданого ступеня відхилень окремих варіантів ряду розподілу від деякої постійної величини (0, , х₀).

Нормований (стандартизований) момент розподілу – це відношення центрального моменту к-го порядку до середнього квадратичного відхилення в к-му ступені.

Огіва – це графічне зображення ранжируваного ряду розподілу при якому на осі абсцис відкладають номер одиниці сукупності у ранжируваному ряду, а на осі ординат – значення досліджуваної ознаки (варіанти).

Полігон розподілу застосовують для зображення дискретних та інтервальних варіаційних рядів, при цьому, координатами точок є варіанти (середини інтервалів) і частоти, що відповідають цим варіантам. Точки з’єднують прямими лініями (щоб замкнути полігон, крайні точки з’єднують із серединами інтервалів, у яких частоти дорівнюють нулю).

Навчальні завдання

Теми індивідуальних доповідей

1. Закони статистичного розподілу.

2. Оцінка концентрації та локалізації розподілів при економіко-статистичних дослідженнях.

3. Графіки статистичного розподілу: їх побудова та інтерпретація.

Питання для обговорення на практичних заняттях

1. Використання властивостей моментів розподілу для спрощення обчислення характеристик розподілу.

2. Методика оцінки скошеності розподілів.

3. Вплив ступеня асиметрії розподілу на результати статистичного аналізу.

4. Методика оцінки гостровершинності розподілів.

5. Оцінка нерівномірності, подібності та структурних змін розподілів.

Питання для самостійної підготовки студентів

1. Багатовершинні розподіли.

2. Криві статистичного розподілу

3. Використання програм Excel, «Statistica» та ін. для характеристики та представлення форми розподілу.

4. Розв’язання індивідуального розрахунково-аналітичного завдання № 3.

Тестові завдання для самоконтролю

1. На основі співвідношення між значеннями характеристик центру розподілу (середньої, моди і медіани) можна визначити:

а) асиметрію розподілу;

б) ексцес розподілу;

в) міру асиметрії.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) в.

2. За допомогою центральних моментів розподілу можна виз­начити:

а) асиметрію розподілу;

б) ексцес розподілу.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) -.

3. За умови > Мо > Ме ряд розподілу є:

а) симетричним;

б) асиметричним із правосторонньою асиметрією;

в) асиметричним із лівосторонньою асиметрією;

г) висновок зробити не можна.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

4. За умови х < Мо < Ме ряд розподілу є:

а) симетричним;

б) асиметричним із правосторонньою асиметрією;

в) асиметричним із лівосторонньою асиметрією;

г) висновок зробити не можна.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

5. За результатами зимової екзаменаційної сесії середній бал успішності студентів становив 3,85. Модальний бал успіш­ності – 4. Розподіл студентів за рівнем успішності:

а) симетричний;

б) асиметричний із правосторонньою асиметрією;

в) асиметричний із лівосторонньою асиметрією;

г) висновок зробити не можна.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

6. Середня заробітна плата на підприємстві у 2004р. становила 546 грн., що співпадає із модальною величиною цього показника. Розподіл працівників підприємства за рівнем зарплати:

а) симетричний;

б) асиметричний із правосторонньою асиметрією;

в) асиметричний із лівосторонньою асиметрією;

г) висновок зробити не можна.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

7. Згідно даних про затрати студентами часу на обід у сту­дентському кафе середні витрати часу становлять 16 хв. Медіана – 15 хв. Розподіл студентів за затратами часу на обід:

а) симетричний;

б) асиметричний із правосторонньою асиметрією;

в) асиметричний із лівосторонньою асиметрією;

г) висновок зробити не можна.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

8. Коефіцієнт асиметрії розраховується на основі центральних моментів розподілу:

а) першого порядку;

б) другого порядку;

в) третього порядку;

г) четвертого порядку.

Відповіді: 1) а; 2) 6; 3) в; 4) г.

9. Коефіцієнт ексцесу розраховується на основі центральних моментів розподілу:

а) першого порядку;

б) другого порядку;

в) третього порядку;

г) четвертого порядку.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

10. На основі розподілу 200 робітників за процентом виконання норм виробітку одержано такі дані: коефіцієнт асиметрії (А) дорівнює 0,57 і коефіцієнт ексцесу (E) дорівнює 2,33. На основі цих даних можна зробити висновок, що ряд розподілу має асиметрію:

а) правосторонню;

б) лівосторонню.

Розподіл:

в) гостровершинний;

г) плосковершинний.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

11. При аналізі результатів успішності студентів під час зимової сесії розраховано такі показники: коефіцієнт асиметрії А=0,32 і коефіцієнт ексцесу E=3,38. На основі цих даних можна зробити висновок, що ряд розподілу має асиметрію:

а) правосторонню;

б) лівосторонню.

Розподіл:

в) гостровершинний;

г) плосковершинний.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

12. При аналізі результатів опитування 250 пасажирів приміських поїздів про дальність поїздки розраховано такі показники: коефіцієнт асиметрії А=0,22 і коефіцієнт ексцесу E=2,38. На основі цих даних можна зробити висновок, що ряд розподілу має асиметрію:

а) правосторонню;

б) лівосторонню.

Розподіл:

в) гостровершинний;

г) плосковершинний.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

Розрахунково-ситуаційні завдання

1. Розподіл підприємств регіону за обсягом поточної заборгованості характеризується такими даними:

Групи підприємств за обсягом поточної заборгованості, тис. грн.	Кількість підприємств
До 5	3
5-10	5
10-15	14
15-20	7
Більше 20	1
Разом	30

Обчислити:

1. Початкові моменти першого та другого порядків.

2. Центральні моменти другого, третього та четвертого порядків.

3. Стандартизовані моменти третього порядку.

4. Стандартизовані моменти четвертого порядку.

Пояснити отримані результати.

2. При дослідженні вікового складу практикантів, що працювали на промисловому підприємстві, отримано такі дані:

№ п/п	Групи практикантів за віком	Кількість, осіб
І	18-22	4
ІІ	22-26	7
ІІІ	26-30	11
ІV	30-34	5
V	34-38	3
Разом		30

Необхідно:

1. Визначити середній вік практикантів; моду та медіану; відносний показник асиметрії.

2. Провести оцінку асиметрії.

3. Графічно зобразити ряд розподілу всіма можливими способами.

3. При обстеженні роботи продуктових супермаркетів було отримано такі дані:

Кількість товарних секцій	Кількість магазинів
1	6
2	16
3	20
4	12
5	2
6	4
Разом	60

Необхідно:

1. Обчислити коефіцієнт асиметрії.

2. Коефіцієнт ексцесу.

3. Графічно зобразити ряд розподілу всіма можливими способами.

4. Розподіл витрат підприємств двох регіонів характеризується такими даними:

Елементи операційних витрат підприємств	У % до підсумку
	Регіон А	Регіон Б
Матеріальні витрати	30	35
Витрати на оплату праці та відрахування на соціальні заходи	35	35
Амортизація	20	10
Інші операційні витрати	15	20
Разом	100	100

Провести оцінку подібності (схожості) структур двох сукупностей.

Пояснити отримані результати.