Тема 5. Аналіз рядів розподілу

Методичні поради до вивчення теми:

Метою вивчення теми є формування у студентів знань щодо побудови рядів розподілу, обчислення та інтерпретації їх характеристик.

Слід розуміти, що при побудові ряду розподілу, групи (за певною ознакою) розташовуються в певному порядку: зростання або спадання. Для характеристики складу сукупності за розміром досліджуваної ознаки можна використовувати такі елементи ряду розподілу, як перелік груп і кількість одиниць, що входять у кожну групу (варіанти та частоти).

Студентам необхідно розглянути види рядів розподілу залежно від статистичної природи варіант (варіаційні, атрибутивні), відповідно до варіації ознаки (дискретні, інтервальні), за характером розподілу (симетричні, асиметричні).

Враховуючи, що у співвідношенні варіант і частот виявляється закономірність розподілу, студентам слід запам’ятати такі частотні характеристики, як абсолютна чисельність j-ї групи – частота f_j та відносна частота j-ї групи – частка d_j. Додатковою характеристикою варіаційних рядів є кумулятивна частота (частка), що являє собою результат послідовного об’єднання груп і підсумовування відповідних їм частот (часток).

Для інтервальних варіаційних рядів з нерівними інтервалами частотні характеристики непорівнянні, тож студентам потрібно навчитися використовувати щільність розподілу g_j (щільність частоти) на одиницю інтервалу (формула 20 додатку А) та відносну щільність розподілу (щільність частки) (формула 21 додатку А).

Проведення аналізу рядів розподілу вимагає обчислення узагальнюючих характеристик рядів розподілу. Такими характеристиками є середнє значення ознаки в ряду розподілу, мода, медіана, квартилі, децилі тощо.

Середнє значення ознаки у варіаційному ряду розподілу можна обчислити за формулами середньої арифметичної простої або середньої арифметичної зваженої. Для інтервального варіаційного ряду розподілу середнє значення ознаки можна розрахувати за формулою:

(5.1)

Де, х_j – середина j-го інтервалу; j – номер групи; m – число групп; f_j – частота j-ої групи; d_j – частка j-ої групи.

Якщо у ряду розподілу є відкритий інтервал, то його ширину умовно вважають такою самою, як сусіднього закритого інтервалу, після цього обчислюють середину інтервалу і за формулою 5.1 – середнє значення ознаки.

Розглядаючи інші узагальнюючі характеристики рядів розподілу, які характеризують особливості розподілу одиниць сукупності за розміром досліджуваної ознаки, студентам необхідно навчитися визначати значення ознаки, що найбільш часто зустрічається в досліджуваній сукупності (моду), при цьому, особливу увагу слід приділити визначенню моди у варіаційному інтервальному ряді розподілу (формула 22 додатку А). Також необхідно навчитися визначати значення ознаки, що є центром розподілу і ділить сукупність на дві рівні за кількістю частини. Таким показником, що займає середнє положення в ранжируваному ряду розподілу є медіана. Студенти мають освоїти методику обчислення медіани для дискретного варіаційного ряду та навчитися визначати медіанне значення ознаки в інтервальному варіаційному ряду розподілу (формула 22 додатку А).

Якщо в ряду розподілу два варіанти мають найбільші й однакові частоти, то такий ряд має дві моди, а розподіл називається бімодальним. Необхідно пам’ятати, що бімодальний розподіл вказує на якісну неоднорідність сукупності за досліджуваною ознакою, тож в такому випадку доцільним може бути проведення типологічного групування з подальшим дослідженням однорідних частин початкової сукупності.

З огляду на те, що мода та медіана характеризують розподіл одиниць сукупності, їх називають структурними середніми.

Окрім моди і медіани для характеристики розподілу використовують квартилі (варіанти, які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні частини) і децилі (варіанти, які поділяють обсяги сукупності на десять рівних частин), відтак, студентам потрібно розглянути методику їх обчислення та особливості інтерпретації.

Для оцінки змін розмірів ознаки у статистичній сукупності використовують такі показники варіації, як розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації тощо. Способи обчислення цих показників наведено у додатку А (формули 24-32).

Важливим показником варіації є дисперсія, тож студентам для спрощення її розрахунків слід навчитися використовувати такі її математичні властивості: якщо всі варіанти зменшити або збільшити на будь-яке постійне число «а», то середній квадрат відхилень від цього не зміниться; якщо всі варіанти зменшити або збільшити в «а» разів, то дисперсія від цього зміниться в «а²» разів, а середнє квадратичне відхилення – в «а» разів; якщо розрахувати середній квадрат відхилень від довільної величини «а», яка відрізняється від середньої арифметичної ( ), то він завжди буде більший за середній квадрат відхилень, обчислений від середньої арифметичної. Ці властивості дозволяють обчислювати дисперсію за такою формулою:

(5.2)

Де, – середнє значення квадратів ознаки; – квадрат середнього значення ознаки.

При проведенні статистичного аналізу виділяють такі види дисперсій, як: загальна, групова, міжгрупова. Студенти мають знати, що загальна дисперсія (σ_з²) характеризує варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію і розраховується за формулами: 5.2., 27, 28 (додатку А). Групова (часткова) дисперсія (σ_і²) відображає варіацію ознаки, що зумовлена чинниками, які діють всередині групи. Обчислити групову (часткову) дисперсію можна за формулою 33 додатку А, або спрощеним способом за формулою:

(5.3)

Де, - середня з квадратів значень ознаки ( ); - квадрат середнього значення ознаки.

Слід звернути увагу, що групових дисперсій розраховують стільки, скільки виділено груп, потім розраховують середню арифметичну зважену з групових дисперсій (формула 34 додатку А).

Міжгрупова дисперсія (σ_м²) характеризує систематичну варіацію, зумовлену ознакою, за якою проведене групування. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої (формула 35 додатку А).

Таким чином, загальна дисперсія складається з двох частин. Перша характеризує внутрішньогрупову, друга – міжгрупову варіацію. Відтак, студентам необхідно знати взаємозв’язок дисперсій або правило розкладання (декомпозиції) варіації:

(5.4)

У статистичному аналізі це правило використовують для оцінки впливу окремих факторів на загальну варіацію ознаки в сукупності.

Рекомендована література за темою

Основна [5, 6, 10, 21, 23]

Додаткова [1, 7, 13, 22, 27]

Термінологічний словник

Децилі – це варіанти, які поділяють обсяги сукупності на десять рівних частин.

Дисперсія – це середній квадрат відхилень всіх значень ознаки від її середньої величини.

Групова (часткова) дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи.

Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію.

Квартилі – це варіанти, які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні частини.

Медіана – це значення ознаки в одиниці сукупності, що займає середнє положення в ранжируваному ряду розподілу. Вона є центром розподілу сукупності і ділить її на дві рівні за кількістю частини.

Міжгрупова дисперсія – це середній квадрат відхилень групових середніх від загальної середньої.

Мода (модальна величина) ряду – це така величина, яка найбільш часто зустрічається в досліджуваній сукупності.

Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значеннями варіюючої ознаки.

Ряд розподілу – це впорядкований розподіл сукупності на групи за певною варіюючою ознакою, розташованою в певному порядку (зростання, спадання тощо).

Середнє квадратичне відхилення - це показник, що характеризує середнє коливання ознаки в сукупності, зумовлене індивідуальними особливостями одиниць сукупності.

Середнє лінійне відхилення – це середня з абсолютних відхилень усіх варіантів від середнього значення варіюючої ознаки.

Навчальні завдання

Теми індивідуальних доповідей

1. Виявлення закономірностей розподілу.

2. Характеристики центру розподілу.

3. Бімодальний розподіл.

Питання для обговорення на практичних заняттях

1. Сутність та особливості побудови рядів розподілу.

2. Обчислення середнього значення ряду розподілу.

3. Спрощені способи обчислення показників варіації.

4. Економічна інтерпретація характеристик розподілу.

Питання для самостійної підготовки студентів

1. Варіація альтернативної ознаки.

2. Особливості обчислення та інтерпретації квартилів та децилів.

3. Розв’язання індивідуального розрахунково-аналітичного завдання № 2.

Тестові завдання для самоконтролю

1. Закономірність розподілу як результат дії основних, спільних для всіх елементів сукупності причин та умов проявляється:

а) у кожному окремому елементі сукупності;

б) у масовій сукупності в середньому.

Відповіді: 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) жодне не проявляється.

2. Мода в ряду розподілу – це:

а) найпоширеніше значення ознаки; б) найбільша частота.

Значення моди:

в) залежить від крайніх значень ознаки; г) не залежить.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

3. Медіана в ряду розподілу – це:

а) найпоширеніше значення ознаки; б) значення ознаки, яке ділить ряд навпіл.

Значення медіани збігається із значенням середньої:

в) у симетричному розподілі; г) в асиметричному розподілі.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

4. Попит на міжбанківські кредити з різним терміном користування характеризується даними:

Термін, днів	1	7	14	30	Разом
Кількість наданих кредитів, % до підсумку	48	16	6	30	100

Визначте моду:

Відповіді: 1) 30; 2) 1; 3) 48; 4) 7.

5. Вік брокерів універсальної біржі коливається в межах від 20 до 26 років:

Вік, роки	20	21	22	23	24	25	26	Разом
Кількість брокерів, осіб	15	27	29	30	38	35	26	200

Визначте медіану.

Відповіді: 1) 23; 2) 30; 3) 24; 4) 38.

6. Аналіз результатів тестування слухачів виявив частоту допущених помилок:

Число помилок в тесті	0	1	2	3	4	5	Разом
Кількість тестів	6	9	20	11	3	1	50

Визначте моду.

Відповіді: 1) 2; 2) 20; 3) 2,5; 4) 3.

7. Розподіл проданих на аукціоні держоблігацій за рівнем їх номінальної доходності характеризується даними:

Номінальна доходність облігацій, %	24-28	28-32	32-36	36-40	Разом
Питома вага проданих облігацій, %	15	34	24	27	100

Медіанним є інтервал:

а) від 28 до 32; б) від 32 до 36.

Якщо частку першої групи збільшити на 5 %, а частку останньої групи відповідно зменшити, то медіанний інтервал:

в) зміниться; г) не зміниться.

Визначте медіану.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

8. Реалізація консервів з терміном вживання до 1 року характеризується даними:

Термін вживання, міс.	До 3	3 – 6	6 – 9	9 – 12	Разом
Кількість реалізованих банок, % до підсумку	22	31	34	13	100

Модальним є інтервал:

а) від 3 до 6; б) від 6 до 9.

Якщо частку першої групи зменшити на 2 %, а частку останньої групи відповідно збільшити, то модальний інтервал:

в) зміниться; г) не зміниться.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

9. Варіація – це:

а) розмаїтість значень певної ознаки в статистичній сукупності;

б) відмінність значень різних ознак у окремого елемента сукупності.

Чи можна виміряти варіацію за даними ряду розподілу?

в) так; г) ні.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

10. Середні значення ознаки у двох сукупностях однакові. Чи може бути різною варіація в цих сукупностях?

а) так; б) ні.

Середні значення ознаки в двох сукупностях різні.

Чи може бути однаковою варіація ознаки в цих сукупностях?

в) так; г) ні.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; ) б, в; ) б, г.

11. Комерційні банки міста видавали кредити терміном до 15 діб під проценти:

Місяць	Банк
	А	B	C	D	K
Вересень	40	35	40	30	35
Грудень	30	20	25	20	25

У грудні порівняно з вереснем середня кредитна ставка:

а) зменшилась; б) не змінилась.

Варіація кредитної ставки:

в) зменшилась; г) не змінилась.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

12. При обчисленні середніх характеристик варіації використовують:

а) алгебраїчну суму відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої;

б) суму абсолютних значень цих відхилень;

в) суму квадратів цих відхилень.

Відповіді: 1) а, б; 2) а, б, в; 3) б, в; 4) а, в.

13. Чи є ідентичними за змістом середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення?

а) так; б) ні.

Чи однакові вони за абсолютною величиною?

в) так; г) ні.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

14. Дисперсія – це:

а) середнє відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої; б) середній квадрат цих відхилень.

Дисперсію можна визначити:

в) лише для кількісної ознаки; г) для кількісної та атрибутивної ознаки.

Відповіді: 1) а, в; 2) а, г; 3) б, в; 4) б, г.

15. Коефіцієнт варіації можна розрахувати на основі:

а) середнього квадратичного відхилення; б) середнього лінійного відхилення; в) варіаційного розмаху.

Відповіді: 1) а; 2) а, б; 3) а, б, в; 4) в.

16. Коефіцієнт варіації використовують для порівняння варіації:

а) однієї ознаки в різних сукупностях; б) різних ознак в одній сукупності.

Відповіді: 1) а; 2) а, б; 3) б.

Розрахунково-ситуаційні завдання

1. За даними про стаж роботи 29 робітників підприємства (кількість років) скласти дискретний варіаційний ряд.

5, 4, 6, 3, 4, 1, 2, 6, 2, 13, 1, 6, 1, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 5, 4, 13, 6, 6, 5.

Визначити:

а) середній стаж роботи;

б) моду стажу роботи;

в) медіану стажу роботи.

Зробити висновки.

2. Віковий склад осіб, що підвищували кваліфікацію у ВНЗ фінансового напряму минулого місяця, характеризується такими даними:

№ особи	Вік, років	№ особи	Вік, років	№ особи	Вік, років
1	18	11	22	21	29
2	38	12	23	22	26
3	28	13	35	23	31
4	29	14	33	24	24
5	26	15	27	25	29
6	38	16	24	26	27
7	34	17	30	27	32
8	22	18	32	28	25
9	28	19	28	29	29
10	30	20	25	30	30

Визначити:

а) кількість груп та побудувати інтервальний ряд розподілу

б) моду

в) медіану

Зробити висновки.

3. Розподіл малих підприємств регіону за обсягом прибутку характеризується такими даними:

Групи підприємств за прибутком, тис. грн.	Кількість підприємств
15-23	3
23-31	6
31-39	12
39-47	7
47-55	2
Разом	30

Визначити:

а) середній прибуток малих підприємств;

б) дисперсію прибутку;

в) середнє квадратичне відхилення прибутку;

г) коефіцієнт варіації;

д) моду;

е) медіану.

Зробити висновки.

4. На основі даних задачі 2, обчислити всі можливі показники варіації віку осіб, що підвищували кваліфікацію. Пояснити економічний зміст отриманих результатів.