Критерий Пирсона

Критерий Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий для проверке гипотезы о законе распределения. Критерий основан на оценке отклонений эмпирических частот n_i от теоретических . Выборочное значение критерия, вычисляемое на основе выборочных данных, находится по формуле , где – теоретическая вероятность попадания значений нормально распределённой случайной величины в i-тый интервал.

Пример: Статистическое распределение средних длин словоупотреблений 100 языков мира задано интеральным статистическим рядом:

	[2,6;3,4)	[3,4;4,2)	[4,2;5,0)	[5,0;5,8)	[5,8;6,6)	[6,6;7,4)	[7,4;8,2)	[8,2;9,0)
	1	9	28	32	19	4	3	4

Можно ли среднюю длину словоупотребления использовать в качестве статистической характеристики для различения языков мира?

Если вариационный ряд средних длин словоформ близок к нормальному распределению, то средние длины словоформ плотнее группируются вокруг средней, задаваемой возможностями оперативной памяти человека. Отклонение от этой средней в каждом конкретном языке будет рассматриваться как результат случайных воздействий.

Для проверки степени соответствия полученного статистического распределения теоретическому нормальному закону воспользуемся критерием Пирсона.

1. Сформируем основную гипотезу H₀: распределение средних длин словоформ можно считать нормальным. Тогда альтернативной будет гипотеза H₁: распределение средних длин словоформ существенно отличается от нормального.

_{2. Необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов не менее 5 наблюдений. Так как число наблюдений в крайних интервалах меньше 5, объединим в статистическом ряде два первых и три последних интервала:}

Интервалы	[2,6;4,2)	[4,2;5,0)	[5,0;5,8)	[5,8;6,6)	[6,6;9,0)
частота ni	10	28	32	19	11

_{3. Для дискретного статистического ряда, значениями которого являются середины интервалов, определим среднее значение выборки ; ; и исправленное среднее квадратическое отклонение , S=1,11.}

_{4. Так как нормально распределённая случайная величина определена на (-∞;∞), заменим крайние интервалы на интервалы (-∞;4,2) и [6,6;∞):}

	(-∞;4,2)	[4,2;5,0)	[5,0;5,8)	[5,8;6,6)	[6,6;∞)
	10	28	32	19	11

_{5. Вычислим теоретические вероятности попадания значений нормально распределённой случайной величины в полученные интервалы по формуле} где интегральная функция Лапласа, значения которой находим в таблице. При выполнении вычислений принимаем параметры теоретического распределения равными их оценкам, найденным по выборке, т.е. . Расчёты оформим в виде таблицы:

	(-∞; 4,2)	[4,2; 5,0)	[5,0; 5,8)	[5,8; 6,6)	[6,6; ∞)
эмпир. частота	10	28	32	19	11
теор. вероятность	0,125	0,212	0,285	0,229	0,149
теоретич. частота	12,5	21,2	28,5	22,9	14,9

6. Вычислим выборочное значение критерия 7. Выберем уровень значимости α =0,05. Рассчитаем k – число степеней свободы: k= m-r-1, k= 5-2-1, k= 2 (r - число параметров предполагаемого распределения, m – число интервалов). По таблице распределения находим критическую точку (квантиль) .

8. Так как < , то гипотеза H₀ принимается, т.е. распределение средних длин словоформ языков мира можно считать нормальным

Ответ. Средняя длина словоформ не может считаться параметром для различения языков мира.