Розділ 4. Площина.

Вигляд рівняння площини П визначається її різним однозначним розміщенням в координатному просторі Охуz:

4.1. Точкою є П і нормаллю площини (рис. 4.1). Змінний вектор Звідки за формулою (1. )

(4.1)

Загальне рівняння площини:

де тобто вектор

В залежності від значень параметрів А,В,С,D загального рівняння площини П визначаються такі її положення в просторі Оxyz:

або або або - це відповідно рівняння координатних площин:

Площина П поділяє простір Оxyz на два півпростору (дві області множини точок) в одній із них, де лежить кінець вектора вираз

За формулою (1. )

4.2. Двома прямими , що перетинаються в точці з напрямними на них векторах (Рис.4.2). Змінний вектор Нормаль площини За формулою (1. ):

Рівняння площини: зводиться до вигляду рівняння (4.1).

4.3. Трьома заданими точками (Рис.4.3). Нехай - змінний вектор площини. Тоді напрямні вектори:

Нормаль площини

Рівняння площини: зводиться до вигляду (4.1).

4.4. Рівняння площини у відрізках на координатних осях:

де числа є абсцисою, ординатою і аплікатою відповідно точок: перетину площини з координатними осями (Рис.4.4, де )

4.5. Відстанню початку координат до площини П і нормаллю площини (Рис. 4.5). - змінний вектор. За формулою (1. )

або

(4.2)

є нормальне рівняння площини.

4.6. Зведення загального рівняння площини до нормального вигляду. Із рівняння За формулами (1. ):

Тоді

або

(4.3)

(знак перед коренем вибираємо протилежним знаку D за умовою: ).

Рівняння (4.3) – зведене загальне рівняння площини до нормального вигляду.

4.7. Відстань точки від площини

(4.4)

Якщо площина задана загальним рівнянням, то

(4.5)

Число називається відхиленням точки N(x,y,z) від площини Тричлен (або ), коли точка N і початок координат лежать по різні (по однакові) сторони площини.

4.8. Рівняння бісекторної площини двох перетинаючих площин

має вигляд

(4.6)

4.9. Перетин трьох площин у просторі:

(4.7)

зводиться до розвязання системи (4.7) трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими. Способом виключення невідомих система (4.7) зводиться до еквівалентної системи вигляду:

(4.8)

Коефіцієнт при і вільні члени системи (4.8) є алгебраїчні вирази із суми шести доданків, кожний з яких є добутком трьох різних параметрів системи (4.7), утворені при еквівалентному перетворенні системи (4.7) до системи (4.8), і називаються визначниками 3-го порядку системи (4.7).

Алгебраїчні вирази визначників обчислюються за правилом, показаним на схемі (Рис.4.6).

За цією схемою побудови визначників

(4.9)

аналогічно за схемою обчислюються визначники:

Із рівняння (4.8) система (4.7) має єдиний розвязок, якщо визначник системи Розвязок системи має вигляд:

і є точкою перетину трьох площин.

4.10. Взаємне розміщення двох площин :

а ) площини перетинаються не||

б) площини паралельні

в) площини суміщаються

Пучок площин. Нехай площини П₁ і П₂ перетинаються. Пряма перетину називається їх віссю. Множина всіх площин з віссю l називається пучком площин.

Рівняння пучка площин з віссю має вигляд:

(4.11)

де параметр пучка , при різних значеннях дістаємо із (4.11) відповідно рівняння площин пучка з віссю l.

4.11. Взаємне розміщення трьох площин (Рис.4.7)

в залежносі від значень визначників системи (4.8) показано на рис. 4.7.

Вязка площин. Нехай три задані площини: перетинаються в точці S. Визначник системи рівнянь цих площин.

Система має єдиний розвязок – точка , яка називається центром заданих площин.

Множина всіх площин простору Охуz з центром S називається вязкою.

Рівняння вязки площин з центром S має вигляд:

(4.12)

де параметри рівняння вязки (параметри незалежні), при різних значеннях дістаємо відповідно рівняння площин вязки з центром S.

4.12. Кут між двома площинами відповідно з нормалями За формулою (1. )

(4.13)

де - лінійний кут двогранного кута двох перетинаючих площин (Рис. 4.7)

Звідси

(4.14)

(4.15)

Задачі.

1. Знайти рівняння площини П, в якій лежать точки паралельно осі Ох.

Розвязання. Рівняння площини має вигляд оскільки П || Оz. Точки Дістаємо систему рівнянь

Звідки

Рівняння площини П:

2. Знайти рівняння площини П, якщо і вектори

Розвязання. Вектори не|| . Тоді нормаль площини П обчислюється за формулою (1. )

Тоді за формулою (4.1) рівняння площини:

3. Знайти рівняння площини П, якщо точки

Розвязання. Вектори не||

Рівняння площини

4. Знайти рівняння площини П, якщо точка і лінія l перетину площин лежать в площині П.

Розвязання. Із системи рівнянь

при значеннях Знайдемо

Точки

Точки знаходимо вектори

і нормаль площини П

Рівняння площини

5. Знайти рівняння площини П, що проходить через лінію перетину l площин і паралельно осі Оz.

Розвязання. Площина П належить пучку з віссю l:

Нормаль площини П:

Звідки

Рівняння площини П має вигляд

6. Знайти г.м.т., рівновіддалених від точок

Розвязання. Г.м.т. є площина і проходить через точку середини відрізка Знаходимо точку і вектор нормалі

Рівняння площини:

7. Знайти рівняння площини П, в якій лежать точки і перпендикулярна до площини

Розвязання. Площина вектор

Із системи

Рівняння площини

8. Знайти точку перетину площин:

Розвязання. За формулою (4.9) обчислюємо визначники системи:

За формулою (4.10) знаходимо розвязок системи:

Точка перетину площини (1,-2,2).

9. Знайти бісекторні площини двогранних кутів, утворених площинами

Розвязання. Рівняння бісекторних площин знаходимо за формулою (4.6):

Звідси

10. На лінії перетину l площин знайти точку М, рівновіддалену від площин

Розвязання. Точка Точка М рівновіддалена від площин:

Тоді координати точки є розвязком системи:

Обчислюємо визначники системи за формулою (4.9).

Координати шуканої точки М

11. Знайти гострий кут між площинами

Розвязання. Нормалі площин відповідно є вектори Тоді За формулою (1. )

12. Знайти рівняння площини П, що проходить через вісь Оу і з площиною утворює кут .

Розвязання. рівняння площини П, її нормаль вектор Двогранний кут

За формулою (1. )

Звідси або Рівняння площини має вигляд:

Вправи.

1. Знайти нормаль площини якщо вона відтинає на координатних осях відрізки:

2. Знайти рівняння площини, яка проходить через вісь Ох і на відстані 8 від точки (5,4,13).

3. Знайти кути між площинами:

4. Знайти рівняння площини, яка проходить через вісь Оz і утворює кут з площиною

5. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку (1,1,-2) і перпендикулярна до площини

6. Знайти рівняння площин, які поділяють двогранні кути, утворені площинами:

7. У пучку площин Знайти рівняння двох перпендикулярних площин, одна із яких проходить через точку (4,-3,1).

8. У вязці площин Знайти рівняння площини, яка проходить через точки

9. У пучку Знайти рівняння площини, яка утворює кут з площиною

10. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку (7,-5,1) і відтинає рівня відрізки на осях у першому октанті.

11. Площина відтинає на координатних осях відрізки: Знайти напрямні косинуси нормалі площини.

12. Знайти кут між площиною і координатною площиною Оуz.

13. Знайти рівняння площини, якщо її відстань від точок А(6,1,-1), В(0,5,4) і С(5,2,0) відповідно дорівнюють 1,2,0.

14. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку М(3,4,-5) і паралельно векторам

15. Знайти площу з трикутника, який відтинає координатний кут Охуz від площини

16. Знайти кути напрямних косинусів нормалі площини

17. Чи лежать точки (2,-1,1) і (1,2,-3) в одному чи в суміжних, чи у вертикальних двогранних кутах, утворених площинами:

18. Знайти рівняння бісекторної площини гострого двогранного кута, між площинами:

19. Знайти рівняння бісекторної площини двогранного кута між площинами: в якому лежить точка (1,2,-3).

20. Чи лежить точка (3,2,-1) в області гострого або тупого кута між площинами: