3.5. Вираз векторного добутку через координати векторів.

Нехай . Тоді

Використовуючи таблицю векторного добутку ортів і закон сполучення по відношенню скалярних множників дістанемо вектор, у вигляді формули визначника третього порядку:

,

який обчислюємо, розкладаючи його по елементам першого рядка.

Приклади.

1) Знайти орт, перпендикулярний до вектора .

Розвязання. Знаходимо векторний добуток

.

Модуль

Орт вектора є одиничний вектор

.

2) Знайти площу трикутника з вершинами А(4, -1, 2), В(-8, 0, 4), С(8, 2, 3).

Розвязання. Знаходимо вектори .

Площа S АВС дорівнює: . Обчислюємо векторний добуток:

.

Модуль . Площа .

5) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо .

Розвязання. Площа паралелограма: .

Знаходимо

Тоді

s = .

8) Задано Обчислити .

Розвязання. Обчислюємо кут :

Обчислюємо:

.

§ 4. Мішаний (векторно-скалярний) добуток трьох векторів.

4.1 Мішаний добуток трьох векторів:

є число (скаляр).

4.2 Геометричний зміст мішаного добутку. Нехай - не компланарні. Позначимо - площа паралелограма, побудованого на векторах з спільним початком. Тоді

,

де Н – висота похилого паралелепіпеда, побудованого на векторах Отже, - обєм паралелепіпеда (V>0 для правої трійки і -V>0 для лівої трійки векторів)

або .

Обєм V тетраедра, побудованого на векторах , дорівнює

4.3 Закони мішаного добутку.

1. Закон сполучення.

Із геометричного змісту мішаного добутку випливає, що обєм V>0 паралелепіпеда, побудованого на векторах , не зміниться, якщо розглядати за його основи, що визначаються векторами: або , або , при цьому відповідно їх трійка: , - праві. Отже, знак векторного добутку можна поставити між будь-якою парою векторів мішаного добутку, а перестановка векторів у цих парах змінює лише знак, їх трійки будуть ліві і обєм (-V)>0.

Ця властивість схематично визначається коловою перестановкою векторів мішаного добутку, який позначається у вигляді: без знаків векторного і скалярного множення. Таким чином,

.

2. Розподільний закон:

3. Закон сполучення відносно скалярних множників.

.

Умова компланарності трьох векторів. Вектори - компланарні, якщо

4.4 Вираз мішаного добутку через координати векторів. Нехай .

Тоді мішаний добуток визначається у вигляді визначника:

Приклади.

2) Обчислити висоту паралелепіпеда, побудованого на векторах якщо в основі його лежать вектори .

Розвязання. Обчислюємо обєм V паралелепіпеда:

.

Знаходимо площу основи паралелепіпеда:

Отже, .

4) Обєм трикутної піраміди дорівнює 9, його вершини: А(4, -1, 2), В(5, 1, 4), С(3, 2, -1). Знайти вершину D Оz.

Розвязання. Знаходимо вектори .

Обєм піраміди:

Отже, вершина піраміди D(0, 0, 3).

5) Знайти висоту Н трикутної піраміди, опущеної з вершини О, якщо її вершини А(3, 2, 1), В(4, 0, -1), С(2, -1, 0) і D(4, 2, 5).

Розвязання. Знаходимо вектори . Обчислюємо обєм V піраміди:

.

Знаходимо площу S основи АВС:

Висота піраміди:

.