Тема 4 методи синтезу розрахункової статичної характеристики

План

1 Проектування ЗВТ як аналіз, синтез і оптимізація

2 Синтез параметрів розрахункових статичних характеристик ЗВТ методом інтерполяції

3 Синтез параметрів розрахункових статичної характеристик ЗВТ методом найменших модулів

4 Синтез параметрів розрахункових статичних характеристик методом найменших квадратів

1 Проектування звт як аналіз, синтез і оптимізація

Проектування - процес розробки проекта ще не існуючого об’єкта на основі технічного завдання на проектування, яке вміщує вихідний первинний опис об’єкту і технічні вимоги до нього.

Проектування ЗВТ включає: аналіз, синтез і оптимізацію.

Аналіз – метод наукового дослідження одного або декількох варіантів структури об’єкту (конструкцій, технологічного процесу виробництва ЗВТ) за заданими значеннями внутрішніх параметрів і зовнішніх факторів навколишнього середовища з метою вивчення властивостей цього об’єкту (вихідних характеристик, параметрів і показників). При аналізі не створюються нові об’єкти, а досліджуються задані.

Синтез – метод наукового дослідження об’єкту зв’язаний зі створенням його структури (структурний синтез), призначенням параметрів елементів цієї структури (параметричний синтез) та їх допусків (синтез допусків) за заданими вимогами до властивостей (вихідними характеристиками, параметрами і показниками) об’єкту при наявності різних обмежень.

Оптимізація – процес знаходження найкращого варіанта схеми, конструкції і технології ЗВТ, для якого обраний критерій оцінки варіанта приймає максимальне або мінімальне значення.

Параметричним синтезом розрахункової статичної характеристики ЗВТ

у=fр (Х; q1, q2,… qn) називається визначення таких значень параметрів цієї характеристики q1, q2,… qn, при яких її відхилення від бажаної статичної характеристики ЗВТ у=fз(Х) на інтервалі Хn ≤Х ≤Хv не перевищує заданого значення або є мінімальним.

Існують три методи рішення цієї задачі:

1. метод інтерполяції (МІНТ);

2. метод найменших модулів (МНМ);

3. метод найменших квадратів (МНК).

2 Синтез параметрів розрахункових статичних характеристик звт методом інтерполяції

Метод інтерполяції (метод вибраних точок) заснований на співпадінні розрахункової і бажаної характеристики ЗВТ в заданій (або вибраній) системі

n-точок, які називаються вузлами інтерполяції. При цьому похибка наближення дорівнює нулю, а розрахунок параметрів зводиться до рішення системи

n-алгібраічних рівнянь:

fр(рі; q1,… qn) = fз (рі), і=1…n,

де рі – абсциси вузлів інтерполяції;

n – число вузлів інтерполяції.

Для рішення задач рекомендується використовувати наступний прийом: Число вузлів інтерполяції приймають рівним числу невідомих параметрів заданої функції і розміщують ці вузли у діапазоні вимірювань Хn ≤ Х ≤ Хv рівномірно.

Здійснюють рішення системи рівнянь, визначають значення параметрів , які розглядають як перше наближення до рішення задачі.

Будують графік залежності похибки наближення від величини Х в інтервалі Хn ≤ Х ≤Хv і проводять його аналіз.

Мета аналізу: оцінити виконання вимог до характеру розподілення похибки наближення або до максимального значення цієї похибки.

Якщо деякі вимоги не виконуються, змінюють координати вузлів інтерполяції, щоб виконувалися вимоги.

При цьому використовують правило Новодворського:

Зближення двох сусідніх вузлів інтерполяції викликає зменшення похибки наближення на ділянці, що розташована між цими вузлами і, крім того, змінюється похибка на інших ділянках таким чином: якщо вузел рі зміщується в сторону вузла рі+1, то на усіх ділянках (рі,рі+1), (рі+1, рі+2) тощо, розташованих праворуч зміщуваного вузла, наближення покращується, а на всіх інших ділянках, розташованих ліворуч цього вузла, - погіршується.

Іншими словами, зміщення вузла інтерполяції праворуч призводить до зменшення похибки наближення на всіх ділянках, розташованих праворуч вузла та до збільшення цієї похибки на інших ділянках.

(так)

правило Новодворського (ні)

Якщо система рівнянь не має рішення, необхідно зменшити число параметрів і, відповідно, число вузлів інтерполяції, тобто зменшити число таких точок, в яких похибка наближення дорівнює нулю.

Приклад: Методом інтерполяції визначити значення параметрів і розрахункової статичної характеристики ЗВТ

,

заданої на інтервалі , якщо бажана характеристика ЗВТ має вид , а допустима зведена похибка наближення = 10%.

Рішення:

Розрахункова статична характеристика ЗВТ містить два невідомих коефіцієнта і (тобто ). Тому їх значення визначаються із системи двох рівнянь:

; .

де - абсциси вузлів інтерполяції, які повинні розміщуватися в інтервалі вимірювань, тобто .

Вирішуємо систему рівнянь, отримуємо:

; . (3.1)

Рішення задачі зводиться до визначення таких значень и (відповідно і ), для яких виконуються вимоги до максимальної зведеної похибки наближення .

Спочатку розмістимо вузли інтерполяції рівномірно, тобто приймаємо ; . Тоді за формулою (3.1) .

Графік похибки наближення задається формулою (3.2)

(3.2)

на рис.3 показаний кривою 1.

Рис. 3

Видно, що при такому виборі вузлів інтерполяції похибка наближення максимальна на правій границі інтервалу вимірювань (в точці ) і дорівнює . Відповідне значення максимальної зведеної похибки наближення перевищує допустиме значення цієї похибки, так як

.

Відповідно правилу Новодворського, для зменшення цієї похибки необхідно вузел змістити праворуч.

Якщо залишаємо значення та приймаємо , то за допомогою формули (3.1) отримуємо нові значення параметрів розрахункової статичної характеристики ЗВТ и .

Відповідно, новий графік похибки наближення

,

на рис.3 показаний пунктиром (крива 2).

Тепер , що відповідає новому значенню максимальної похибки наближення

.

Висновок: Вимога виконується і, відповідно, знайдені значення параметрів и можна вважати рішенням задачі. Існує безліч рішень, які задовольняють умові і знайдене рішення є одним з них.