Эмпирическая функция распределения среднегодовой температуры воздуха

Гистограмма распределения частоты представляет собой эмпирическую функцию распределения.

Из гистограммы распределения частоты определяем модальное значение, то есть значение, наиболее часто встречающееся в ряде наблюдений.

Модальное значение (Мо - мода) оценивается, как значение среднегодовой температуры воздуха в центре интервала, для которого определяется максимум частоты.

Мо = 5.34

Определим медиану исходного ряда наблюдений.

Медиана (Ме) – это центральное значение ранжированного ряда, то есть расположенного в порядке убывания или возрастания его членов ряда.

Медиана делит распределение пополам по накопленной частоте.

Если значение ряда нечётное, то

Ме = 38

Проверим соответствие эмпирической функции распределения среднегодовой температуры воздуха к нормальному закону распределения.

Предварительно рассчитаем плотность вероятности нормального закона распределения:

x ср – среднеарифметическое значение исходного ряда наблюдений

δ – среднеквадратическое отклонение исходного ряда

xk ср – середина интервала

Для каждого интервала переводим значения плотности вероятности нормального закона распределения в значения соответствующих частот нормального закона распределения:

N – число членов исходного ряда

Частоту нормального закона распределения округляем до целого значения.

Проверка соответствия эмпирической функции распределения к нормальному закону распределения выполняем на основе критерия согласия Пирсона (X²)

Определим расчётное значение критерия согласия Пирсона:

X² = 21.45

Расчётное значение критерия согласия Пирсона сопоставляем с табличным значением

X²табл = fср (ν;α),

где ν – число степеней свободы ν = K-3

α – уровень значимости критерия

α = 5%

X²табл =

Вывод: Так как X² ~ X²табл, то проверка соответствия эмпирического и теоретического распределений подтверждается.

Построение эмпирической кривой обеспеченности среднегодовой температуры воздуха

Эмпирическая обеспеченность (Рm) данного значения климатической характеристики называется эмпирическая вероятность превышения этого значения, полученная по ряду наблюдений, состоящему из n – членов. Члены хронологического ряда за n – лет располагают в порядке убывания.

Для каждого члена такого ряда Tm вычисляют эмпирическую обеспеченность по формуле:

Pm=m/(n+1)*100% ,

где m – это порядковый номер члена ряда (ранжированного ряда),

P₁, Р₂,…Pm,…Pn – эмпирическая обеспеченность m-го члена ряда.

Эмпирическая кривая обеспеченности - графическое выражение связи между рассматриваемой климатической характеристикой и их эмпирическими обеспеченностями.

Для построения эмпирической кривой обеспеченности на график наносят точки с координатами (Pm;Tm)

Таблица 5. Вычисление эмпирической обеспеченности среднегодовой температуры воздуха по метеостанции Рыбинск за 1949 -2008 годы

Тгод	Тгод	эмпирическая обеспеченность Pm=(m/n+1)100
4,6	7,3	1,32
3,9	7,0	2,63
3,1	6,9	3,95
3,2	6,4	5,26
3,5	6,3	6,58
5,5	6,3	7,89
3,0	6,3	9,21
5,5	6,3	10,53
5,0	6,2	11,84
5,8	6,2	13,16
5,6	6,1	14,47
6,4	6,1	15,79
5,1	6,1	17,11
3,9	6,1	18,42
2,1	6,0	19,74
2,4	5,9	21,05
5,1	5,9	22,37
3,1	5,8	23,68
4,5	5,8	25
4,4	5,8	26,32
5,4	5,6	27,63
5,9	5,6	28,95
4,3	5,6	30,26
4,2	5,5	31,58
4,6	5,5	32,89
5,4	5,4	34,21
4,6	5,4	35,53
3,0	5,4	36,84
4,4	5,3	38,16
3,4	5,3	39,47
5,1	5,2	40,79
4,6	5,1	42,11
3,7	5,1	43,42
2,4	5,1	44,74
4,1	5,1	46,05
4,4	5,1	47,37
5,4	5,0	48,68
4,7	5,0	50
5,6	4,8	51,32
6,3	4,7	52,63
2,6	4,7	53,95
4,7	4,6	55,26
3,5	4,6	56,58
4,6	4,6	57,89
3,5	4,6	59,21
6,1	4,6	60,53
5,1	4,5	61,84
6,0	4,4	63,16
4,4	4,4	64,47
3,6	4,4	65,79
4,4	4,4	67,11
2,8	4,4	68,42
5,2	4,4	69,74
7,0	4,3	71,05
6,2	4,2	72,37
6,1	4,1	73,68
5,6	4,1	75
4,4	3,9	76,32
4,1	3,9	77,63
6,3	3,7	78,95
4,8	3,6	80,26
5,3	3,5	81,58
5,0	3,5	82,89
6,3	3,5	84,21
6,3	3,4	85,53
5,8	3,2	86,84
6,2	3,1	88,16
5,3	3,1	89,47
5,9	3,0	90,79
5,8	3,0	92,11
5,1	2,8	93,42
6,9	2,6	94,74
7,3	2,4	96,05
6,1	2,4	97,37
6,1	2,1	98,68

Вычисление эмпирической обеспеченности для каждого m члена ранжирован-ного ряда по формуле:

Эмпирическая кривая обеспеченности среднегодовой температуры воздуха за 1914-2010 годы

Построение аналитической кривой обеспеченности среднегодовой температуры воздуха

Аналитические кривые обеспеченности строят на основе математических моделей.

В практике гидрометеорологических расчётов принимают следующие виды кривых обеспеченности:

Кривая обеспеченности трёхпараметрического гамма-распределения.

Кривая обеспеченности биномиального распределения.

В качестве стандартных параметров, характеризующих указанные критерии обеспеченности, в практике используют следующие:

Среднеарифметическое значение ряда наблюдений (Т₀, Р₀)

Коэффициент вариации (Сv)

Коэффициент асимметрии (Сs)

Для определения данных статистических параметров используют 3 метода:

Метод моментов

Метод наибольшего правдоподобия

Графоаналитический метод

В настоящей работе для построения аналитической кривой обеспеченности выберем трёхпараметрическое гамма-распределение.

Для определения статистических параметров используем метод моментов.

Согласно данному методу, один параметр среднеквадратического значения среднегодовой температуры воздуха определяется как:

Т₀ = , °С

С_vт =

δ – среднеквадратическое отклонение

Cs = 2Cv

Ординаты аналитической кривой обеспеченности среднегодовой температуры воздуха определяем по следующему соотношению:

,⁰C ,

где Tp% - ординаты аналитической кривой обеспеченности среднегодовой температуры воздуха

Кр%-модульный коэффициент среднегодовой температуры воздуха, заданной расчётной обеспеченности

Р-расчетная обеспеченность среднегодовой температуры воздуха

Т₀ – среднемноголетнее значение среднегодовой температуры воздуха

Построение аналитической кривой обеспеченности проводим в следующем порядке:

Используя метод моментов определяем статистические параметры аналитической кривой обеспеченности (Т₀, Сv, Cs=2Cv)

Определяем модульные коэффициенты среднегодовой температуры воздуха, заданной расчётной обеспеченности (Kp%)

Таблица 6. Определение ординат аналитической кривой обеспеченности среднегодовой температуры воздуха для метеостанции Рыбинск за 1949-2008 годы

№	расчетная обеспеченность Р%	модульный коэффициент Кр%	Тр%=Кр%*Т0. °С
1	0,01	2,515	12,072
2	0,1	2,188	10,5024
3	1	1,825	8,76
4	5	1,64	7,872
5	10	1,399	6,7152
6	20	1,24	5,952
7	30	1,132	5,4336
8	40	1,048	5,0304
9	50	0,97	4,656
10	60	0,898	4,3104
11	70	0,823	3,9504
12	80	0,746	3,5808
13	90	0,64	3,072
14	95	0,565	2,712
15	99	0,438	2,1024
16	99,9	0,319	1,5312

Модульный коэффициент определяется по специальным таблицам, в зависимости от расчётной обеспеченности, коэффициента вариации и соотношения Cs/Cv :

Kp% = f (P%, Cv, Cs/Cv),

(по таблице ординат кривой обеспеченности при Cs = 2Cv)

Определяем ординаты аналитической кривой обеспеченности

Тр%=Кр%*То

Строим на клетчатке вероятности аналитическую кривую обеспеченности годовых сумм атмосферных осадков.