Вычисление определителей

Значения определителей находятся по следующим правилам:

Для n = 2 ,	(5)
Для n = 3 по правилу треугольников (правилу Саррюса):	(6)

Примеры: 1.

2.

Замечание. Если элементами определителя являются некоторые функции, то данный определитель, вообще говоря, тоже функция (но может быть и числом).

3.

Для вычисления определителя произвольного -го порядка, используют теорему Лапласса (3)

,

где , а миноры , являющиеся определителями - го порядка, получаются из вычеркиванием первой строки и - го столбца.

Пример. Вычислить определитель III-го порядка

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)

(Совместность систем уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. Система m линейных уравнений с n переменными. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса. Однородная СЛАУ. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики)

Совместность систем уравнений. Теорема Кронекера – Капелли

Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:

(1)

Здесь переменные x₁,x₂,...,x_n называются неизвестными системы, числа a_ij, где i=1,2,…,m, j=1,2,…,n называются коэффициентами системы, а числа b₁,b₂,...,b_m – свободными членами.

Если, хотя бы один из свободных членов , система называется неоднородной (с правой частью), а в противном случае, т.е. при , однородной (без правой части).

Числа x₁,x₂,...,x_n, обращающие все уравнения системы в тождества, называются решением системы.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Однородная система всегда совместна, так как она имеет нулевое (тривиальное) решение .

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Исследовать систему – это значит определить, совместна ли она и, в случае совместности, определить, сколько решений она имеет.

Расширенной матрицей С.Л.А.У. называется матрица, полученная из матрицы системы приписыванием справа столбца свободных членов.

Теорема Кронекера – Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна (имеет решение) тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу расширенной матрицы r (A)= r ( ).

Если r (A) r ( ), то СЛАУ решений не имеет.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных ( r = n), то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных ( r<n), то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.