Интегрирование по частям

Рассмотрим функции и(х) и v(x), непрерывно дифференцируемые на некотором промежутке.

Формула интегрирования по частям имеет вид:

.

(6)

Здесь левая часть представляет собой заданный интеграл, где в подынтегральное выражение введены обозначения и и dv.

При этом рекомендуется через и принимать функции, интегралы от которых не являются «табличными», например, логарифмические или обратные тригонометрические функции (если их нет – многочлен).

За dv принимается все остальное подынтегральное выражение, содержащее dx.

Пример 6.

Лекция 12. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

Интегрирование дробно - рациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений и иррациональных функций

1. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

Интегралы, содержащие квадратный трехчлен, вида приводятся к табличным интегралам (13,20,21) путем выделения полного квадрата в квадратном трехчлене

(1)

Обозначив и сделав подстановку | _, dx=dt| имеем:

=

2. Интегрирование дробно - рациональных выражений.

Интеграл от простейшей дроби, в зависимости от её типа, вычисляется следующим образом:

1)

2)

3)

(2)

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов:

Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная (m˃n), то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочлена), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби :

Интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и простейших дробей.

Для этого находят корни уравнения f(x)=0.

І случай. Корни знаменателя действительны и различны, т.е.

.

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби І типа:

Коэффициенты А,В,…,D можно определить методом неопределенных коэффициентов.

1способ. Приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов А,В,…,D.

2способ. Т.к. многочлены, получившиеся в правой и левой частях равенства, после приведения к общему знаменателю тождественно равны, то их значения равны при любых частных значениях . Придавая частные значения, получим уравнения для определения коэффициентов.

ІІ случай. Корни знаменателя действительны, причем некоторые из них кратные:

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби I и II типов.

ІІІ случай. Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся (т.е. различные):

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби I, II и III типов.

Пример 1. Найти интеграл .

.

Пример 2. Найти интеграл .

= .

Пример 3. Найти интеграл

Разложим подынтегральную дробь на простейшие

Приравнивая коэффициенты при , получим

Пример 4. Найти интеграл .

Разложим знаменатель на множители: .

Имеем: .

Приведя дроби в обеих частях последнего равенства к общему знаменателю,

получим:

Перепишем предыдущее равенство в виде:

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему уравнений:

, из которой найдем A=-1, B=0, , ,

Таким образом,

.