Абсолютная и условная сходимости

Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные (количество положительных и количество отрицательных членов бесконечно, т.к. если конечное плюс бесконечное, то можно отбросить конечное число членов).

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

Рассмотрим знакопеременный ряд (1)

и ряд, составленный из абсолютных величин

(2).

Определение. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин (2).

Теорема 1 (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд (1) сходится абсолютно, то он сходится.

Пример.

, где - число. Рассмотрим ряд

так как , то по первой теореме сравнения ряд из абсолютных величин сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Замечание. Теорема 1 является достаточным признаком сходимости знакопеременного ряда, но не необходимым:

Существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Введем понятие условной сходимости знакопеременного ряда.

Определение. Ряд (1) называется условно сходящимся, если ряд из абсолютных величин расходится, а ряд сходится.

Примеры. , ряд из абсолютных величин расходится. Но сходится по теореме Лейбница.

Следовательно, ряд сходится условно. , так как и сходится, то по первой теореме сравнения ряд сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Функциональный ряд

Определение 1. Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от .

Рассмотрим функциональный ряд (1)

Давая определенные числовые значения, мы получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Определение 2. Совокупность тех значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

В области сходимости ряда (1) его сумма является функцией .

Обозначим - сумму ряда (1).

Мажорируемые ряды

Определение. Функциональный ряд

(1)

называется мажорируемым в некоторой области изменения , если существует такой сходящийся числовой ряд

(2)

с положительными членами, что для всех значений из данной области выполняются соотношения

(3)

Например.

Ряд мажорируемых на всей числовой оси.

Так как для всех , а ряд сходится.

Признак Вейерштрасса. Если функциональный ряд (1) мажорируемый в некоторой области , то он абсолютно и равномерно сходится в области .

Определение. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся функциональным рядом на отрезке , если для любого найдется такой номер , что при всех будет выполняться неравенство: для .