Несобственные интегралы
Непременными условиями существования определенного интеграла являются требования:
- промежуток интегрирования [а,b] конечный,
- подынтегральная функция непрерывна на отрезке [а,b].
При нарушении хотя бы одного из этих условий определенный интеграл теряет свой собственный смысл и превращается в так называемый несобственный интеграл.
В зависимости от того, какое из указанных условий нарушается, различают несобственные интегралы I и II-рода.
К несобственным интегралам 1-рода относятся интегралы с бесконечными пределами интегрирования:
|
(1) |
.
Говорят, что первые два несобственных интеграла из (1) сходятся, если существуют соответствующие конечные пределы от определенного интеграла:
|
(2) |
Последний из несобственных интегралов (по всей числовой оси) будет сходящимся только в том случае, когда сходятся оба слагаемых в правой части равенства.
Заметим, что несобственный интеграл есть предел определенного интеграла, а не интегральной суммы.
Следовательно, они обладают основными свойствами определенного интеграла.
Пример 1.
В зависимости от того, где подынтегральная функция терпит разрыв: в начале, в конце или во внутренней точке отрезка, рассматриваются несобственные интегралы II-рода:
О сходимости этих интегралов можно сказать то же самое, что для собственных интегралов 1-рода:
Пример
2.
Признаки сходимости несобственных интегралов
Теорема
1.
(Первый признак сравнения) Пусть
функции
и
непрерывны в промежутке
и в этом промежутке выполняется
неравенство
.
а)
Если
сходится,
то
также
сходится
б)
Если
расходится,
то
также
расходится.
Пример
3.
Исследуем сходимость интеграла
.
,
.
Тогда по первому признаку сравнения исходный интеграл сходится.
Теорема
2.
(Предельный признак сравнения) Пусть
неотрицательные в промежутке
функции
,
непрерывны в этом промежутке и существует
предел
,
который не равен 0 и
.
Тогда
несобственные интегралы
и
сходятся и расходятся одновременно.
Пример
4.
Исследуем сходимость
.
Поскольку
и интеграл
-
сходится,
то исходный интеграл также сходится по
предельному признаку сравнения.
Задания
|
Вычислить определенный интеграл: 1.
4.
7.
8.
Вычислить несобственный интеграл, или установить его расходимость: 10.
12.
14.
|
2.
3.
5.
6.
(Ответ:
0,5)
11.
(Ответ:
0,5)
(Ответ:
2)
13.
(Ответ:
-1)
(Ответ:
)
15.
(Ответ:
расходится)
16.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды
и
осью
19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей линии
20.
Вычислить длину дуги параболы
между точками с
абсциссами
и
21.Вычислить
длину астроиды
22.Вычислить
длину кардиоиды
Вопросы для самоконтроля:
1.Первообразная, неопределенный интеграл. Их свойства.
2.Непосредственное интегрирование.
3.Замена переменной в неопределенном интеграле.
4.Подведение под знак дифференциала.
5.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
6.Интегрирование рациональных выражений. Метод неопределенных коэффициентов.
7.Интегрирование тригонометрических выражений.
8.Интегрирование тригонометрических выражений с помощью универсальной подстановки.
9.Определенный интеграл: определение и геометрический смысл.
10.Свойства определенного интеграла.
11.Формула Ньютона-Лейбница.
12.Замена переменной в определенном интеграле. Подведение под знак дифференциала.
13.Формулы вычисления площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.
14. Формулы вычисления длины дуги кривой, объема тела.
15. Несобственный интеграл. Признаки сходимости.
Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1988.-190 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. -М.: Наука, 1988.- 430 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1,2- М.: Наука, 1985.-270 стр.
4.Сборник индивидуальных заданий по математике. Под редакцией
Рябушко А.П., Ч. 1,2,3 Минск: высшая школа, 2001.- 400 с.
5. Искакова С.К.,Мустахишев К.М. Интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие.- Алматы: «Эверо», 1999.- 64 с.
6. Искакова С.К., Мустахишев К.М. Интегральное исчисление функций многих переменных. Векторный анализ.- Алматы: