14) Уравнение плоскости с нормальным вектором:

(27)

Пример 16. Дана плоскость и точка .

Найдем уравнение плоскости || и проходящей через точку .

Поскольку || , то вектор является нормальным для обеих плоскостей. Подставляя его координаты и координаты в уравнение, получим

15) Уравнение плоскости в отрезках (рис.3):

(28)

Пример 17. Приведем уравнение плоскости к виду уравнения в отрезках:

Следовательно, эта плоскость пересекает координатные оси в точках

z

c

b y

a

x Рисунок 3.

Пример18. Нормальное уравнение плоскости имеет вид

, здесь

Пример 19.

Напишем уравнения плоскостей и , параллельных плоскости и находящихся на расстоянии от нее.

Учитывая следствие, уравнения плоскостей получим из соотношения:

Следовательно,

15) Теорема 1. Косинус угла между прямыми

и в R³ находится по формуле

(29)

Эти прямые перпендикулярны только в том случае, когда

(30)

Эти прямые параллельны только в том случае, когда

(31)

Эти прямые и совпадают, если

(32)

В последнем случае прямые и имеют общую точку.

Пример 20. Запишем уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости

Нормальный вектор плоскости есть . Этот же вектор параллелен прямой L, поэтому его можно взять в качестве направляющего вектора. Подставив координаты в уравнение, получим уравнения

и

Поскольку направляющий вектор параллелен плоскости , то эта прямая перпендикулярна .

Пример 21. Найдем косинус угла между прямыми

и

Поскольку направляющие векторы этих прямых - , , то

16) Теорема 2. Синус угла между прямой и плоскостью находится по формуле:

(33)

Прямая и плоскость перпендикулярны, если

(34)

Прямая параллельна плоскости только в том случае, когда

(35)

Если при выполнении этого условия , то прямая

лежит в плоскости .

Пример 22. Найдем синус угла между плоскостью и прямой и точку их пересечения.

Поскольку и , то

17) Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, решим систему из 4–х уравнений с 4–мя неизвестными, составленную из уравнения плоскости и трех параметрических уравнений прямой:

Подставив три последних уравнения в первое, получим

Отсюда .

18)Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно плоскости, имеет вид:

.

(36)

Лекция 7. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ