Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1 курс 2 семестр / Лекция 8

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
28.03.2020
Размер:
697.96 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 8.

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ, ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ, СВОЙСТВА, ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ.

Двойной интеграл в декартовых координатах

Рассмотрим геометрическую задачу, приводящую к понятию двойного интеграла

Пусть на замкнутой области D

 

R² [область предполагаем

 

ограниченной и измеримой по Жордану. Мы не будем давать определение измеримости по Жордану, так как эти тонкие моменты выходят за рамки нашего курса. Данные определения можно посмотреть, например, в

прекрасном учебнике Г.И.Архипов, В.А. Садовничий, В.Н.Чубариков

«Лекции по математическому анализу», часть IV. Простыми словами,

измеримость по Жордану области означает возможность найти ее площадь,

для кривой – длину, для пространственной области - объем] задана непрерывная функция z f (x; y), f (x; y) 0 для (x; y) D . В системе координат 0xyz функция z f (x; y) задаёт некоторую поверхность z f (x; y

Из каждой граничной точки области D восстанавливаем перпендикуляры к плоскости 0xy до пересечения с поверхностью z f (x; y) . При этом в пространстве R³ получаем объёмное цилиндрическое тело, у которого нижним основанием является область D, верхним – часть поверхности

z f (x; y) и боковая поверхность параллельна оси 0z. Такое тело будем называть цилиндроидом.

Ставим задачу: вычислить объём V этого цилиндроида (рис. 1).

С этой целью проведём следующие операции:

а) область D разделим на n частей (произвольно) – D1, D2, D3,...,Dn;

[на самом деле не совсем произвольно. Полученные области должны быть измеримыми по Жордану.]

)

.

б) обозначим площади каждой из этих частей

S

, S

2

, S

,..., S

n

;

1

 

3

 

 

 

 

 

в) на каждой из частей разбиения области D выберем точку

M

(x

 

;

i

 

i

 

строим ряд цилиндрических «столбиков», имеющих основания Di

y )

и

i

и высоты

h f (M )

;

i

i

г) вычислим объёмы полученных «столбиков»:

V f (x ; y ) S ;

i

i

i

i

д) в результате построено тело, состоящее из n «столбиков», приближенно равное объёму цилиндроида, который равен:

 

n

 

n

i

i

i

 

V

i

 

 

 

V

 

f (x ; y ) S

;

 

i 1

 

i 1

 

 

 

 

е) для повышения точности равенства:

V

n

Vi

i 1

будем уменьшать размеры

частей разбиения области D, увеличивая их количество, т.е. n , но при

условии стремления к нулю max

S

i , стягивающегося в точку. Тогда можно

записать точное равенство:

 

 

 

 

n

 

V

lim

 

f (xi ; yi ) Si ;

 

 

n

i 1

 

 

max S

0

 

 

 

 

 

i

 

 

 

ж) этот предел и даёт объём V заданного цилиндроида.

Замечание: проще всего начать с рассмотрения случая, когда область D –

прямоугольная. И разбивать ее на прямоугольники меньшего размера. Когда для такой области все станет понятно, то можно переходить к рассмотрению общего случая.

Рис. 1

Определение двойного интеграла

n Определение. Сумма f (xi ; yi ) Si , построенная в разделе 1 пункт д)

i 1

называется интегральной суммой для функции

f (x; y) на замкнутой области

D.

 

Определение. Двойным интегралом от функции f (x; y) по замкнутой

 

 

 

 

n

 

области D называется предел интегральной суммы f (xi ; yi ) Si

при

 

 

 

 

i 1

 

условиях:

 

 

 

а) n и

max

S

 

i 0 (стягиваясь в точку);

 

б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на

части [измеримые по Жордану], ни от выбора внутри этих частей точек

M

(x ; y ) D .

 

 

i

i

i

i

 

 

Обозначение двойного интеграла:

 

 

 

 

 

n

i

i

i

 

f (x; y)dS

f (x; y)dxdy

 

 

 

 

 

lim

 

f (x

; y

) S

.

D

 

D

 

n

i 1

 

 

 

 

 

 

max S 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

Теорема (достаточное условие существования двойного интеграла)

Если в замкнутой области D

 

R² функция

 

двойной интеграл от этой функции по области

z f (x; y)

непрерывна, то

D существует.

Геометрический смысл двойного интеграла

 

 

1) Если функция z f (x; y) непрерывна в области D

 

R² и f(x;y) 0, то

 

двойной интеграл от этой функции по области D равен объёму цилиндроида,

у которого нижнее основание – область D Oxy , верхнее – часть поверхности z f (x; y) и боковая поверхность параллельна 0z (рис. 1), т.е.

Vцилиндроида f (x; y)dxdy

D

Если f(x;y) 0 в области D, то двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела, находящегося под плоскостью Oxy (рис. 2), взятому со знаком «–» (–V). Если же функция f(x,y) в области D меняет знак, то двойной интеграл численно равен разности объемов цилиндрических тел,

находящихся над плоскостью Oxy и под ней (рис. 3), т.е.

f (x, y)dS V1 V2 .

D

Рис. 2

2) Если

по области D

S

D

 

 

dxdy .

 

 

 

 

 

D

 

Рис. 3

f (x; y)

равен

1

для любых

(x;

 

 

площади области

y)

D:

D

, то двойной интеграл от z = 1

Основные свойства двойного интеграла

1) Пусть функция

z

f (x; y)

непрерывна в области D

R², причём

D

D

D1 D2

, тогда

 

f (x; y)dS f (x; y)dS f (x; y)dS.

 

D

D

 

1

2

Это свойство, как и последующие, можно доказать путём рассмотрения интегральных сумм и последующего перехода к пределам.

2) Постоянный множитель k выносится за знак двойного интеграла:

k f (x; y)dS k f (x; y)dS.

D

D

3) Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме двойных интегралов от этих функций:

 

1

 

2

(x; y) dS

 

1

 

 

 

2

 

 

f

(x; y) f

 

 

f

(x; y)dS

 

f

 

(x; y)dS.

D

 

 

 

 

D

 

 

D

 

 

 

4) Если для двух непрерывных в области D функций f(x;y) и g(x;y)

выполняется неравенство f(x;y) g(x;y), то

f (x; y)dS D

g(x; y)dS D

.

Теорема (о среднем значении двойного интеграла)

 

Если функция z f (x; y)

непрерывна в замкнутой области D, то внутри

области D найдется, хотя бы одна точка

0

0

 

, в которой выполняется

 

 

 

 

(x

; y

)

 

равенство:

 

 

 

 

 

 

 

f (x; y)ds f (x0 ; y0 ) SD ,

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

где

S

D – площадь области D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство: По свойству непрерывной функции в замкнутой области,

функция z f (x; y) в области D достигает своих наименьшего (m) и

наибольшего (M) значений. Значит: m f(x;y) M для (x; y) D .

Тогда для всех (xi ; yi ) D можно записать

m f (xi ; yi ) M, где i 1; n.

Умножая последнее неравенство на

Si

0

, получим:

m Si f (xi ; yi ) Si M Si .

Суммируем все n неравенств ( i 1; n ):

n

i

 

n

i i

i

 

n

i

 

 

 

 

 

 

 

 

m S

 

 

f (x ; y ) S

 

 

M S

.

i 1

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

Вынесем пределам при

n

m lim Si

n i 1 max Si 0

m и М за знаки сумм (как постоянные величины) и перейдём к

n и max Si 0

(стягиваясь в точку):

 

 

n

 

n

 

lim

f (xi ; yi

) Si M lim

Si .

 

n i 1

n i 1

 

max S 0

 

max S 0

 

 

i

 

i

 

Вспоминаем определение двойного интеграла, получаем двойное

неравенство:

m ds f (x; y)ds M ds

D

D

D

m SD f (x; y)ds M SD .

 

D

 

Разделим последнее неравенство на

SD

, где

SD

0

. Тогда

m

f (x; y)ds

D

M .

 

 

 

S

 

 

D

 

 

По свойству непрерывной функции в замкнутой области, функция

z f (x; y)

в области D принимает все промежуточные значения между

наименьшим (m) и наибольшим (М) значениями. Следовательно, существует точка (x0 ; y0 ) D , в которой:

 

 

 

f (x; y)ds

 

 

S D f (x; y)dS f (x0 ; y0 ) S D

f (x0

; y

0 )

D

 

,

умножаем на

S

 

 

 

 

D

 

 

D

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы о среднем значении двойного интеграла

Если

f (x; y) 0

в области D, то объём цилиндроида V

 

f (x; y)dS

 

 

 

 

D

 

можно заменить на объём цилиндра,

нижним будет область D, а высота f (

у

x0

которого основаниями верхним и

0

.

; y )

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке 1 курс 2 семестр