Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1 курс 2 семестр / Лекция 7

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
28.03.2020
Размер:
319.23 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 7.

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ. НАИМЕНЬШЕЕ И НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ЗАМКНУТОЙ

ОБЛАСТИ,

В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть z f (x, y) – функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию g(x, y) C , называемому уравнением связи.

Определение. Точка

M

(x

, y

)

0

0

0

 

называется точкой условного

минимума (максимума) функции

z f (

окрестность точки

M 0 , что для всех точек

удовлетворяющих

условию

g(x, y) C ,

x, y) , если существует такая

M (x, y) из этой окрестности,

выполняется

неравенство

f (x0 , y0 ) f (x, y), ( f (x0 , y0 ) f (x, y) ).

Если уравнение связи

g(x, y) C

можно разрешить относительно одной

 

 

из переменных (например, выразить

y

через x : y (x) ), то задача отыскания

условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют найденное

выражение

y (x)

в функцию двух переменных. В результате получают

 

 

функцию одной

переменной x :

z(x) f (x, (x)) . Ее экстремум и будет

условным экстремумом функции

z f (x, y)

.

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Найти экстремумы функции

 

 

 

 

 

 

z

3x

2

6xy 2y

2

7

 

 

 

 

 

при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи y 3x 1.

Решение.

Из уравнения связи находим функцию

y 3x 1

и подставляем ее в

 

 

функцию z. Получим функцию одной переменной

 

 

z(x) 3x2 6x(3x 1) 2(3x 1)2

7

или

z(x) 3x

2

6x

 

Находим экстремум данной функции:

 

 

 

 

z (x) 6x 6, 6x 6

– критическая точка.

5

0

.

,

x 1

 

то в точке x 1

функция

z(x)

имеет локальный

Так как z

(x) 6 0,

минимум. Из

уравнения

связи

находим:

y 3 1 1 2

. Следовательно,

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

3x

2

6xy 2y

2

7

 

 

 

 

 

 

 

 

в точке M (1, 2)

имеет условный минимум:

 

 

 

 

 

 

zmin z(1, 2) 3 12 6 1 2 2 22

7 8.

В более сложных случаях, когда уравнение связи

g(x, y) C

не

разрешимо относительно одной из переменных, для отыскания условного экстремума используется метод неопределенных множителей Лагранжа.

Рассмотрим его на примере.

Пример 2. Найти условный экстремум функции

z x 2 y,

если

x

2

y

2

5.

 

 

Решение.

Построим функцию Лагранжа

Где

L(x, y, ) x 2y (x

2

y

2

5).

 

 

- множитель Лагранжа

Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю:

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

1 2x

1 2x 0

 

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2x

2 2x 0

 

y

 

 

 

.

 

 

 

 

Ly

 

L

x 2 y2 - 5

x 2

y2 5

 

2

 

2

 

y

5

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

5;

4

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

;

 

1

2

 

 

 

Если = ½, то x = -1, y = -2.

5 4 2

2

5;

1 2

 

2

 

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

.

L(x, y, 2) x

L

1 x;

x

 

L

2 y;

y

 

L

1;

L

0;

xx

 

xy

 

2y 21 x2 12

1 x 0;

x

2 y 0;

y

L

1;

1

 

yy

 

0

 

 

y 2 52 .

1

.

2

 

0

1

 

1

 

 

0

.

Экстремум есть, и так как

L

1

> 0, то точка (-1, -2) - точка минимума.

xx

 

Если = -½, то x = 1, y = 2.

L(x, y, 2) x 2y

1

 

2

 

1

 

2

5

 

x

 

 

y

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

L

1 x;

1 x 0;

x 1

x

 

 

y 2 .

L

2 y;

2 y 0;

y

 

 

 

 

1;

 

0;

 

1;

1

0

1 0 .

 

 

Lxx

Lxy

Lyy

0

1

 

 

 

 

 

 

 

Экстремум есть, и так как

L xx

1

< 0, то точка (-1, -2) - точка максимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области ищутся среди следующих точек:

1)критические точки на экстремум из равенства нулю или бесконечности каждой частной производной первого порядка;

2)угловые точки области, если таковые имеются;

3)точки локального экстремума, которые получаются, если

подставить уравнение границ области в исходную функцию

z

f (x,

y)

,

получить при этом функцию одной переменной и из равенства нулю или бесконечности каждой производной первого порядка найти эти точки.

Среди указанных точек выбираются те, для которых функция z f (x, y) , имеет наибольшее и наименьшее значения.

Сформулируем теоремы, которые понадобятся в дальнейшем.

Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области D достигает, по крайней мере, один раз наибольшего значения M и наименьшего значения m .

Теорема. Если функция

f (x, y)

непрерывна в ограниченной замкнутой

области

D , M и

области

D и если

найдется точка

 

M (

m

m

x

0

,

 

 

– наибольшее и наименьшее значения этой функции в

– число, удовлетворяющее условию

m m M , то в D

y 0 ) такая, что f (x0 , y 0 ) m .

 

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

= − + 2 2 + 10, в области 0 ≤ ≤ 1, −1 ≤ ≤ 0.

Решение.

Функция непрерывна в замкнутом квадрате 0 ≤ ≤ 1, −1 ≤ ≤ 0. Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, она на этом множестве достигает своих наибольшего и наименьшего значений функции.

Найдем все решения системы уравнений:

 

 

 

 

 

= − + 2 − 2 = 0,

 

(− − 1 + 2 ) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

{

= − +

2

− 2 = 0,

{

(

 

 

 

 

 

 

)

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1 − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0,

 

− − 1 + 2 = 0,

 

 

− − 1 + 2 = 0,

= 0,

 

 

 

{ = 0,

{

 

 

 

= 0,

 

 

 

 

 

{

− 1 − 2 = 0, { − 1 − 2 = 0,

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ =

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ = 0, { = −1,

 

 

 

{ = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0,

 

 

= 0,

 

 

 

 

= −

1

,

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все решения находятся в области 0 ≤ ≤ 1, −1 ≤ ≤ 0.

 

 

 

 

Найдем

значения

функции

 

= − + 2 2 + 10

в найденных

стационарных точках:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0; 0), (0; 0) = −0 ∙ 0 + 02

∙ 0 − 0 ∙ 02 + 10 = 10,

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(0; −1), (0; −1) = −0 ∙ (−1) + 02 ∙ (−1) − 0 ∙ (−1)2 + 10 = 10,

 

1

1

 

1

1

 

1

 

1

 

1

 

2

 

1

 

1

 

 

 

 

1

2

 

1

 

271

3(

 

; −

 

), (

 

; −

 

) =

 

 

 

 

− (

 

)

 

 

 

 

∙ (−

 

) + 10 =

 

+ 10 =

 

,

 

 

 

 

3

3

 

 

3

3

 

3

27

27

3

3

 

3

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4(1; 0), (1; 0) = −1 ∙ 0 + 12 ∙ 0 − 1 ∙ 02 + 10 = 10.

 

 

На границе области

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А) = 0, −1 ≤ ≤ 0. Отсюда

= 10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б) = 1, −1 ≤ ≤ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

= − + − 2 + 10 = − 2 + 10, = −2 = 0, = 0,(1; 0) = −1 ∙ 0 + 12 ∙ 0 − 1 ∙ 02 + 10 = 10.

С) = 0,0 ≤ ≤ 1. Получаем = 10. D) = −1, 0 ≤ ≤ 1.

Таким образом,

= − 2 − + 10 = − 2 + 10,= −2 = 0, = 0,

(0; −1) = −0 ∙ (−1) + 02 ∙ (−1) − 0 ∙ (−1)2 + 10 = 10.

Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область 0 ≤ ≤ 1, −1 ≤ ≤ 0.

(0; −1) = 10,(0; 0) = 10,

(1; −1) = −1 ∙ 1 + 12 ∙ 1 − 1 ∙ 12 + 10 = 9,(1; 0) = 10.

Выберем наибольшее и наименьшее значения:

= (13 ; − 13) = 27127 , = (1; 0) = 0. Ответ: = (13 ; − 13) = 27127 , = (1; 0) = 0.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке 1 курс 2 семестр