Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1 курс 2 семестр / Лекция 6

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
28.03.2020
Размер:
444.39 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 6.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Вжизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное решение. Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.

Вматематике исследование задач на максимум и минимум началось давно – двадцать пять веков назад. Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было единых подходов. Но примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.

Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f (x) . Ферма нашел это условие алгебраическим путем. К

сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления.

Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро. В «Дифференциальном исчислении» (1755) Эйлера это исчисление появляется уже в весьма полном виде.

Правила определения экстремумов функции одной переменной y f (x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для

функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.

В XVIII веке возникло исчисление вариаций. В трудах Эйлера и Лагранжа оно приобрело вид логически стройной математической теории. Главной задачей, решаемой средствами этого исчисления, являются отыскание экстремумов функционалов.

Определение. Точка M 0 (x0 , y0 ) называется точкой минимума (максимума) функции z f (x, y) , если существует такая окрестность точки M 0 , что для всех точек M (x, y) из этой окрестности выполняется неравенство f (x0 , y0 ) f (x, y)

( f (x0 , y0 ) f (x, y) ).

Точки минимума и максимума функции

z f

экстремума, а значения функции в этих точках (минимумом и максимумом соответственно).

(

x, y) называются точками

экстремумами функции

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер,

так как значение функции в точке

M

0

сравнивается с ее значениями в точках,

 

достаточно близких к

M

0 .

 

Теорема

экстремума

производные

(необходимое условие экстремума).

дифференцируемой функции

z f (

 

 

в этой точке равны нулю:

zx и z y

Если x, y) ,

(x

0

, y

0

)

 

 

 

то ее

– точка частные

z

(x

0

, y

0

) 0,

x

 

 

 

z

(x

0

, y

0

)

y

 

 

 

0

.

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция z f (x, y) может иметь экстремум, а может и не иметь.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция

z

а) определена в некоторой окрестности критической точки которой

 

(x0 , y0 ) 0

и

 

(x0 , y0 ) 0

;

zx

z y

б) имеет непрерывные частные производные второго порядка

f

(x0

(

,

x, y) :

y0 ) , в

Тогда, если экстремум:

если AC B

 

z

(x

, y

0

)

A; z

(x

, y

0

) B; z

(x

, y

0

) C .

 

 

xx

0

 

 

xy

0

 

yy

0

 

 

 

AC B

2

0, то функция z f (x, y) в точке

(x0 , y0 ) имеет

 

 

максимум, если А<0; минимум, если А>0;

 

2

0

, то функция z f (x, y) в точке

(x0 , y0 ) экстремума не

 

имеет. В случае открытым.

AC B

2

0

 

 

вопрос о наличии экстремума остается

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1.

Найти частные производные первого порядка:

z

и

z .

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

x

0,

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

2.

Решить систему уравнений

z

0,

и найти критические точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

функции.

3.

Найти частные производные второго порядка: z ,

xx

z xy

,

z yy

.

4.Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод

оналичии экстремума.

5.Найти экстремумы функции.

Пример 1. Найти экстремумы функции

z x

3

y

3

 

 

6xy

.

Решение. 1. Находим частные производные

z x

и

z

y

:

z x

3x2

6 y

,

z y

3y 2

6x

.

2. Для определения критических точек решаем систему уравнений

3x

2

6 y 0,

x

2

2 y

 

 

 

 

3y

2

6x 0

или

2

2x

 

y

 

 

 

 

 

 

Из первого уравнения системы находим: y x2

2

значение y во второе уравнение, получим

x

4

 

 

 

 

 

2x 0

, x4

8x 0, x(x3

 

4

 

 

 

 

откуда

x

0,

x

2

2

.

1

 

 

 

0,

0.

. Подставляя найденное

8) 0

,

Находим значения

Подставляя значения

y1

0,

y2

2.

y, соответствующие значениям

x1

0,

x2

2

в уравнение

y

x1

x

2

 

 

,

2

 

0, x2 2.

получим:

Таким образом, имеем две критические точки:

M1 (0,

3. Находим частные производные второго порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zxx (3x

2

6y)x

6x ;

zxy (3x

2

6 y) y

6

;

z yy

 

 

0)

(3

и

y

2

 

M

2

 

6

(2,

x) y

2)

.

6 y

.

4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки M1 (0, 0) имеем:

A

Так как

z

(0,0)

xx

 

0

AC

,

B z xy

B

2

0

 

 

(0, 0) 6

0 ( 6)

2

 

,

C

36

z

(0, 0)

yy

 

0

,

0

.

то в точке

M

1

экстремума нет.

 

В точке

M

2

(2, 2)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A z

 

(2, 2) 12

, B z

(2, 2) 6 ,

C z

(2, 2)

12

 

 

 

xx

 

 

 

xy

 

 

 

yy

 

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AC B

2

12 12

( 6)

2

144

36 108 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит, в силу достаточного условия существования экстремума, в точке

M

2

функция имеет минимум, так как в этой точке 0

и A 0 .

 

 

 

5. Находим значение функции в точке M 2 :

 

 

 

z

min

z (2, 2) 23 23 6 2 2 8 .

 

 

 

 

 

Ответ: zmin (2,2) 8 .

Пример 2. Исследовать функцию на экстремум

z 3x 2 y 2 6x 4 y 11.

Решение.

Найдем точки, возможного экстремума из необходимого условия

z

0,

z

0

x

 

y

 

т.е.

z

6x 6

6x 6

0

x

 

z

2 y 4

 

0

2 y 4

y

 

 

 

x 1 y 2

.

В точке (1,2) может быть экстремум. Теперь необходимо найти вторые производные:

 

6,

 

0,

 

2 .

zxx

zxy

zyy

Определитель

z

|

 

z

|

 

 

6

xx

 

M

xx

 

M

 

 

 

 

 

z

|

M

z

|

M

 

0

xx

 

xx

 

 

 

0

12

2

 

0

.

Следовательно, экстремум есть, а так как минимума, т.е.

z xx

|

M

 

 

 

6

0

, то это точка

z

min

( 1,2)

 

 

3 4 6 8 11

4

.

Ответ: zmin ( 1,2) 4 .

Пример 3. Исследовать на максимум и минимум следующую функцию

= + − − − , > .

Решение.

Найдем частные производные и :

= − − ,= − − .

= ,

Решим систему уравнений { = , которая в данном случае

− − = ,

− − = ,

примет вид: { − − = ,

{ − − = , = , = ,

− − = , − = , { = ,

{ = ,

{ = − ,

 

 

= ,

= ,

= − ,

= ,

= − ,

 

 

 

 

{ = , и

{ = − ,

не удовлетворяют условию > .

Получили точку возможного экстремума: ( ; )

Определим частные производные второго порядка:

 

 

= − ,

 

= − ,

 

 

= − .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем значение в точке ( ; ):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| = ′′ (; ) = ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| = ′′ (; ) = ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

= ′′ (; ) = −.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆= |

 

| = − (− ) = >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и функция = + − − − в точке ( ; ) имеет экстремум.

Так как ′′ (; ) = > , то в точке ( ; ) функция

= + − − −

имеет минимум и

= (; ) = + − − ∙ ∙ − = − .

Ответ: ( ; ) - точка минимума, = − .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке 1 курс 2 семестр